압축성 유동

1. 개요

압축성 유동 Compressible Flow
핵심 무차원수	마하수 Ma = u/a
지배 방정식	오일러 / 나비에-스토크스 방정식
대표 현상	충격파, 팽창파, 초킹
주요 기법	리만 솔버 (Roe, HLLC)
분야	초음속 항공, 로켓, 터빈

마하 0.3까지는 공기도 물처럼 굴었는데, 그 위로는 갑자기 성격이 바뀐다.

압축성 유동(compressible flow)은 유체의 밀도 변화가 무시할 수 없을 만큼 커지는 유동으로, 밀도가 압력·온도와 함께 미지수로 움직이는 흐름을 말한다. 저속 유동에서는 밀도를 상수로 놓는 비압축성 가정이 잘 먹히지만, 속도가 음속에 가까워지면 이 가정이 통째로 무너진다. 대략적인 기준은 마하수가 0.3을 넘는지 여부다.¹

압축성이 개입하는 순간 유동에는 저속에서 볼 수 없던 손님들이 등장한다. 충격파(shock wave), 팽창 부채(expansion fan), 초킹(choking) 같은 것들이다. 이들은 하나같이 불연속이거나 급격한 변화를 동반해서, 전산유체역학으로 다룰 때 비압축성과는 완전히 다른 수치 기법을 요구한다. 초음속 항공기, 로켓 노즐, 가스터빈, 재진입체 — 빠른 것들의 유동은 죄다 압축성 문제다.

2. 마하수와 유동 영역

압축성 유동의 성격을 통보하는 성적표는 마하수 $Ma = u / a$다. 여기서 $a$는 국소 음속으로, 이상기체에서는 다음과 같다.

$$a = \sqrt{\gamma R T}$$

$\gamma$는 비열비(공기는 약 1.4), $R$은 기체상수, $T$는 절대온도다. 음속이 온도의 함수라는 점이 핵심 — 같은 비행기라도 고고도의 찬 공기에서는 음속이 낮아 같은 속도로도 마하수가 높아진다. 표준대기에서 재 보면 해면(15 °C)의 음속이 340.3 m/s, 11 km 성층권 하단(−56.5 °C)이 295.1 m/s라 같은 250 m/s 가 $Ma$ 0.735에서 0.847로 15% 올라간다. 마하수에 따라 유동은 대략 이렇게 나뉜다.

영역	마하수 범위	특징
비압축성 근사	$Ma < 0.3$	밀도 변화 5% 이내, 상수로 취급
아음속	$0.3 \sim 0.8$	밀도 변화 유의, 충격파 없음
천음속	$0.8 \sim 1.2$	국소 초음속 + 충격파 공존
초음속	$1.2 \sim 5$	경사·수직 충격파 지배
극초음속	$Ma > 5$	실제기체 효과, 해리·전리

천음속 영역이 특히 악명 높다. 물체 전체는 아음속인데 표면 일부만 국소적으로 초음속이 되어 그 뒤에 충격파가 매달리는 상황이라, 항력이 폭증하는 “음속 장벽”의 정체가 여기 있다.²

3. 오일러 방정식

압축성 유동의 지배 방정식은 점성을 무시한 오일러 방정식이 뼈대다. 질량·운동량·에너지 보존을 보존형(conservative form)으로 묶으면 다음과 같은 쌍곡형 방정식계가 된다.

$$\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{F}(\mathbf{U})}{\partial x} = 0$$

여기서 보존 변수 벡터 $\mathbf{U} = [\rho,\ \rho u,\ \rho E]^T$이고 $\mathbf{F}$는 플럭스 벡터다. 여기에 점성·열전도를 되살리면 압축성 나비에-스토크스 방정식이 된다. 비압축성과 결정적으로 다른 점은, 이 방정식계가 쌍곡형(hyperbolic) 이라 정보가 유한한 속도(특성 속도 $u,\ u \pm a$)로 전파된다는 것이다. 이 특성 구조가 곧 충격파라는 불연속을 허용하고, 동시에 수치 기법의 방향성(상류화)을 결정한다.

4. 충격파와 랭킨-위고니오

충격파는 압축성 유동의 시그니처다. 초음속 흐름이 장애물을 만나면 두께가 분자 자유행정 수준(수백 나노미터)에 불과한 얇은 층에서 압력·밀도·온도가 계단처럼 뛴다. 이 불연속 양쪽을 잇는 관계가 랭킨-위고니오 조건(Rankine-Hugoniot condition)이다. 수직 충격파를 지나면 유동은 반드시 초음속에서 아음속으로 떨어지며($Ma_1 > 1 \Rightarrow Ma_2 < 1$), 엔트로피가 증가한다. 이 엔트로피 조건이 물리적으로 허용되는 충격파와 허용되지 않는 “팽창 충격파”를 걸러내는 심판 역할을 한다.³

수치적으로 충격파가 골치 아픈 이유는 명확하다. 해 자체에 불연속이 존재하니, 매끄러움을 전제로 하는 고차 이산화는 충격파 근처에서 진동(깁스 현상, wiggle)을 일으킨다. 그래서 압축성 CFD는 TVD·WENO 같은 진동 억제 도식과 리만 솔버라는 특수 병기를 동원한다.

5. 리만 솔버 — Roe와 HLLC

압축성 CFD의 심장은 셀 경계에서의 플럭스 계산이고, 그 표준 도구가 리만 솔버(Riemann solver)다. 셀 평균을 그대로 좌·우 상태로 놓고 경계마다 리만 문제를 푸는 1차 원형이 고두노프 도식(1959)이고, 아래 두 솔버는 그 리만 문제를 싸게 근사하는 방법들이다. 유한체적법에서 인접한 두 셀은 각자 다른 상태값을 갖는데, 그 경계에서 벌어지는 국소 불연속 문제(리만 문제)를 풀어 정확한 방향으로 정보를 전달하는 것이 리만 솔버의 임무다.

• Roe 솔버 (1981): 비선형 방정식을 국소적으로 선형화한 “Roe 평균” 행렬로 근사해 각 특성파(충격파·접촉 불연속·팽창파)를 분해한다. 정확하고 날카롭지만, 엔트로피 조건을 위반해 비물리적 팽창 충격파를 만드는 고질병이 있어 엔트로피 픽스(entropy fix)를 덧대야 한다.⁴
• HLLC 솔버: 하튼·랙스·반 리어(1983)의 HLL 솔버에 접촉 불연속(Contact)을 복원한 개량형(Toro 등 1994). Roe만큼 화려하진 않지만 견고(robust)하고 양의 밀도·압력을 잘 보존해서, 강한 충격파나 극초음속처럼 험한 문제에서 실무자들이 더 선호하는 경향이 있다.

둘 중 무엇을 쓰느냐는 결국 “정확도냐 강건성이냐”의 오래된 저울질이다. 문제가 얌전하면 Roe, 격자가 터질 것 같으면 HLLC — 이것이 압축성 하는 사람들의 국룰이다.

6. 압축성 CFD의 현실

• 초킹(choking): 수축 노즐의 목에서 마하수가 1에 도달하면, 하류 압력을 아무리 낮춰도 질량유량이 더는 늘지 않는다. 목에서 $Ma=1$ 이 되는 조건은 $p^{*}/p_0 = \left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\gamma/(\gamma-1)} = 0.5283$ (공기) — 즉 배압이 정체압의 52.8% 아래로만 떨어지면 그 뒤는 하류가 무슨 짓을 해도 목이 모른다. 로켓·제트 엔진 설계의 기본 상식이자, 초보자가 “왜 유량이 안 늘죠?”라며 처음 부딪히는 벽이다.
• 시간 전진의 비용: 압축성 명시적 솔버는 CFL 조건이 음속 기준($u+a$)이라 시간 간격이 잘게 쪼개진다. 저마하수에서는 음속이 유속보다 훨씬 커서 강성(stiffness)이 심해지고, 이 때문에 저마하 영역은 오히려 비압축성 솔버로 푸는 게 낫다는 아이러니가 있다.
• 극초음속에서는 공기가 이상기체이길 포기한다. 산소·질소가 해리·전리되며 화학 반응과 복사 열전달이 개입해, 방정식 자체가 더 무거워진다.

7. 검산

이 문서의 숫자들을 등엔트로피 관계식과 랭킨-위고니오 조건으로 다시 계산했다($\gamma = 1.4$, $R = 287.05\ \mathrm{J/kg\,K}$).

”$Ma$ 0.3” 의 근거. 등엔트로피 관계 $\rho_0/\rho = \left(1 + \frac{\gamma-1}{2}Ma^2\right)^{1/(\gamma-1)}$ 로 밀도 변화율을 재면

$Ma$	0.10	0.14	0.20	0.30	0.50	0.80
밀도 변화	0.50%	0.98%	2.01%	4.56%	12.97%	35.14%

$Ma = 0.3$ 에서 4.56%다. 역으로 밀도 변화 1%는 $Ma = 0.141$, 2%는 $Ma = 0.199$, 5%는 $Ma = 0.314$ 에 해당한다. 즉 0.3 이라는 선은 “1% 이하”가 아니라 “5% 정도까지 봐준다”는 타협선이다.⁵

수직 충격파. $Ma_1$ 을 넣어 하류 상태와 엔트로피 증가 $\Delta s = c_v \ln(p_2/p_1) - c_p \ln(\rho_2/\rho_1)$ 를 계산했다.

$Ma_1$	$Ma_2$	$p_2/p_1$	$\rho_2/\rho_1$	$T_2/T_1$	$\Delta s$ [J/kg·K]
1.2	0.842	1.513	1.342	1.128	+2.08
2.0	0.577	4.500	2.667	1.688	+93.9
3.0	0.475	10.333	3.857	2.679	+320
5.0	0.415	29.000	5.000	5.800	+799
10.0	0.388	116.50	5.714	20.39	+1663

$Ma_1 > 1$ 이면 예외 없이 $Ma_2 < 1$ 이고 $\Delta s > 0$ 이다. 재미있는 것은 밀도비가 아무리 세게 때려도 6을 못 넘는다는 점 — $Ma_1 \to \infty$ 극한이 $(\gamma+1)/(\gamma-1) = 6$ 이다. $Ma = 10$ 에서 압력은 116배인데 밀도는 5.71배뿐이고, 나머지는 전부 온도로 간다(20.4배). 극초음속에서 열부하가 재앙인 이유가 이 표에 다 있다.

반대로 같은 식에 $Ma_1 = 0.8$ 을 억지로 넣으면 $\Delta s = -4.70\ \mathrm{J/kg\,K}$ — 음수다. 수학은 팽창 충격파를 내놓지만 열역학 제2법칙이 거부한다는 각주의 주장이 이 한 줄로 확인된다.

충격파 두께. 해면 공기의 평균 자유 행정은 $\lambda = k_B T / (\sqrt{2}\pi d^2 p) \approx 65\ \mathrm{nm}$ (충돌 지름 0.37 nm 가정)이고, 충격파 두께는 그 몇 배 규모이므로 200~650 nm — 본문의 “수백 나노미터”가 맞다. 이 두께가 격자 간격보다 수천 배 얇으니 CFD 가 충격파를 “포착(capture)“이 아니라 “번지게(smear)” 그리는 것이다.

8. 관련 문서

• 전산유체역학 · 유체역학
• 나비에-스토크스 방정식 · 오일러 방정식
• 마하수 · 무차원수
• 충격파 · 랭킨-위고니오 조건 · 엔트로피 조건
• 리만 솔버 · 리만 문제 · 고두노프 도식 · WENO 도식
• 초음속 유동 · 극초음속 유동
• 유한체적법
• CFL 조건
• 열전달 해석
• 경계층

9. Footnotes

1. $Ma = 0.3$ 에서 등엔트로피 밀도 변화율은 4.56%다(§검산). “0.3”이라는 숫자는 밀도 변화 1~2%를 무시 가능으로 볼 것이냐, 5%까지 봐줄 것이냐에 따라 교과서마다 조금씩 다르다. 자연이 그은 선이 아니라 공학자의 타협선이라는 뜻. 이 선의 역사와 변형(프란틀-글라우어트 보정 등)은 마하수 문서가 따로 다룬다. ↩

2. 2차 대전기 조종사들은 급강하 시 기체가 마구 떨리며 조종면이 먹통이 되는 현상을 겪었는데, 이것이 천음속 충격파에 의한 것임을 당시엔 몰라 “음속 장벽(sound barrier)“이라 불렀다. 벽이 실재하는 줄 알았던 시절이 있었다. ↩

3. 팽창 충격파는 엔트로피를 감소시켜 열역학 제2법칙을 위반한다. 즉 자연은 압축은 계단처럼 하지만, 팽창은 반드시 매끄러운 부채(팽창파)로 한다. 수학적으로는 두 해가 다 나오지만 우주는 하나만 허락한다. ↩

4. Roe 솔버가 특정 조건(변환점, sonic point)에서 0에 가까운 수치 점성을 갖는 바람에 생기는 문제다. 이론적으로 완벽에 가깝던 솔버가 현실의 노즐 목에서 발산하는 걸 보며 많은 대학원생이 겸손을 배웠다. ↩

5. 그래서 이 문서 표의 “밀도 변화 5% 이내”는 원래 “1% 이하”로 적혀 있던 것을 검산으로 고친 값이다. 1% 선을 지키려면 $Ma$ 를 0.14 로 잡아야 하는데, 그러면 시속 170 km 자동차 공기역학까지 압축성 문제가 되어 버린다. ↩