간헐성

1. 개요

간헐성(intermittency)은 난류의 작은 스케일 활동 — 특히 에너지 소산과 속도 증분 — 이 시공간에 고르게 퍼져 있지 않고 드물지만 격렬한 사건에 몰려 있는 성질이다. 그 결과 통계량이 가우스 분포에서 체계적으로 벗어나 두꺼운 꼬리를 갖고, 콜모고로프 스케일 문서에서 소개한 K41의 자기상사 가정이 고차 통계에서 깨진다.

한 줄로 요약하면 이렇다. 난류는 평균적으로 얌전하고 국소적으로 미쳐 있다. 소산은 유동 전체에 골고루 퍼진 안개가 아니라 얇은 판과 실 같은 구조에 응축돼 있고, 우리가 격자로 잡아내지 못하는 것도 대개 그 응축된 부분이다. 이 문서는 통계적 간헐성만 다룬다 — 난류 천이에서 나오는 간헐도 $\gamma$(난류 반점이 지나가는 시간 비율)는 이름만 같은 다른 개념이다.¹

2. K41은 무엇을 가정했나

콜모고로프의 1941년 이론은 관성 부영역에서 통계가 오직 평균 에너지 소산율 $\varepsilon$ 과 거리 $r$ 로만 결정된다고 놓는다. 종방향 속도 증분 $\delta u(r) = [\mathbf{u}(\mathbf{x}+\mathbf{r}) - \mathbf{u}(\mathbf{x})]\cdot \hat{\mathbf{r}}$ 의 $p$ 차 구조함수는 차원 해석만으로

$$S_p(r) = \langle (\delta u)^p \rangle \propto (\varepsilon r)^{p/3}, \qquad \zeta_p = \frac{p}{3}$$

가 된다. 지수가 $p$ 에 대해 직선이라는 것이 K41의 핵심이자 약점이다. 직선이라는 말은 곧 스케일을 바꿔도 분포의 모양이 그대로라는 뜻, 즉 완전한 자기상사다.

그런데 K41 안에도 예외적으로 튼튼한 결과가 하나 있다. 나비에-스토크스에서 근사 없이 유도되는 4/5 법칙이다.

$$\langle (\delta u)^3 \rangle = -\frac{4}{5}\,\varepsilon r$$

$p=3$ 에서 $\zeta_3 = 1$ 은 정확하다. 간헐성 수정 이론들이 전부 $\zeta_3 = 1$ 을 통과하도록 설계되는 이유가 이것이고, 실험에서 지수를 뽑을 때 $\zeta_p/\zeta_3$ 형태의 상대 지수를 쓰는 이유이기도 하다.

3. 관측 — 지수는 휘어 있다

풍동·대기 경계층·제트, 그리고 직접수치모사에서 측정한 $\zeta_p$ 는 $p/3$ 직선 아래로 볼록하게 휘어 있다. 고차로 갈수록 K41과의 이탈이 커진다.

$p$	K41 예측 $p/3$	실측 $\zeta_p$ (대략)
2	0.667	0.70
4	1.333	1.28
6	2.000	1.8
8	2.667	2.2

증거는 지수 말고도 많다.²

• 평탄도(flatness)의 폭발. $F(r) = S_4/S_2^2 \propto r^{\zeta_4 - 2\zeta_2}$ 인데 지수가 음수라, 스케일을 줄일수록 분포가 가우스의 3에서 멀어져 뾰족해진다. 속도 미분의 평탄도는 $Re_\lambda$ 가 커지면 함께 커져 수십에 이른다.
• 미분 왜도의 음수 고정. $S = \langle (\partial u/\partial x)^3\rangle / \langle (\partial u/\partial x)^2\rangle^{3/2} \approx -0.5$ 안팎으로, 부호가 음이라는 것 자체가 와도 늘림이 소산을 만들어 낸다는 방향성의 증거다.
• 소산율 자체의 꼬리. 국소 소산 $\varepsilon_r$(반경 $r$ 로 거칠게 평균한 값)은 로그정규에 가까운 분포를 갖고, 상관 $\langle \varepsilon_r \varepsilon_{r'} \rangle$ 이 멱법칙으로 감소한다.

4. 수정 모형들

4.1. K62 — 로그정규

콜모고로프 본인이 1962년에 내놓은 수정(정련 자기상사 가설)은 $\varepsilon$ 을 상수가 아니라 $\varepsilon_r$ 이라는 확률변수로 바꾸고, 그 로그가 정규분포라고 가정한다. 결과는

$$\zeta_p = \frac{p}{3} + \frac{\mu}{18}\,p\,(3-p), \qquad \mu \approx 0.2\text{--}0.25$$

$\mu$ 가 간헐성 지수다. $\zeta_3 = 1$ 은 자동으로 지켜지고 저차 데이터도 잘 맞지만, 결정적 결함이 있다. $p$ 가 커지면 $\zeta_p$ 가 감소로 돌아서는데, 구조함수 지수는 $p$ 에 대해 감소하면 안 된다는 부등식(노비코프 제약)이 있어 고차에서 비물리적이다.³

4.2. She-Lévêque

1994년 She와 Lévêque가 로그-푸아송 계단식 모형으로 얻은

$$\zeta_p = \frac{p}{9} + 2\left[1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{p/3}\right]$$

은 조절 매개변수가 하나도 없는데 실측 지수를 놀랍도록 잘 맞힌다. 가장 특이한 구조(가장 격렬한 소산 자리)가 여차원 2, 즉 실 모양 소용돌이 필라멘트라는 물리적 가정이 계수에 박혀 있는 것이 이 모형의 매력이다.

4.3. 다중프랙탈

파리시와 프리쉬의 다중프랙탈 그림은 아예 지수 하나를 포기한다. 국소 스케일링 $\delta u(r) \sim r^{h}$ 의 지수 $h$ 가 공간에 따라 다르고, 지수 $h$ 를 갖는 집합의 프랙탈 차원이 $D(h)$ 라고 두면 안장점 계산으로

$$\zeta_p = \inf_h \left[\,p h + 3 - D(h)\,\right]$$

$\zeta_p$ 의 휘어짐은 $D(h)$ 의 르장드르 변환일 뿐이라는 것 — 즉 간헐성은 단일 스케일링의 실패가 아니라 스케일링 지수의 스펙트럼이라는 관점이다. $D(h)$ 가 한 점이면 K41로 되돌아간다.

5. 실무에서 왜 신경 쓰는가

• 격자와 예산. 소산이 국소적으로 몰려 있으면, 평균 소산율로 계산한 콜모고로프 스케일은 낙관적 추정이다. DNS에서 $\eta$ 를 겨우 해상했다는 격자가 국소 극값 근처에서는 부족할 수 있고, 그래서 고차 통계 수렴에는 해상도와 표본 길이가 훨씬 더 든다.
• LES 부격자 모형. 대와류 모사의 부격자 응력 모형은 대개 국소 평형을 깔고 시작하는데, 그 평형이 성립하지 않는 곳이 정확히 간헐적인 사건이 벌어지는 곳이다. 동적 모형·확률적 부격자 모형이 등장한 배경.
• 드문 사건이 설계를 정한다. 연소 소화·재점화, 액적 파쇄, 난류 하중의 피크, 대기 확산의 고농도 순간 — 전부 평균이 아니라 꼬리가 정하는 문제다. 극값 통계·신뢰성 해석이 난류 데이터와 만나는 지점이 여기다.
• 모형 검증의 리트머스. RANS든 LES든 평균장은 어지간하면 맞힌다. 고차 구조함수 지수를 맞히는지가 진짜 시험대다.⁴

6. 관련 문서

• 난류 · 콜모고로프 스케일
• 직접수치모사 · 대와류 모사 · 난류 모델링
• 난류 천이 · 와도
• 극값 통계 · 통계
• 자기조직화 · 상전이

7. Footnotes

1. 이름 충돌이 진짜 헷갈린다. 천이 쪽 간헐도 $\gamma$ 는 “여기가 지금 난류인가 층류인가”의 시간 비율이고, 이 문서의 간헐성은 “완전 발달 난류 안에서 소산이 얼마나 뭉쳐 있는가”다. 학회장에서 서로 다른 얘기를 하며 30분쯤 고개를 끄덕이다 파국을 맞는 고전 레퍼토리. ↩

2. 실험 데이터에서 지수를 뽑을 때는 확장 자기상사(ESS)를 쓰는 게 국룰이다. $S_p$ 를 $r$ 이 아니라 $S_3$ 에 대해 그리면 관성 부영역이 짧은 저Re 데이터에서도 직선 구간이 훨씬 길게 나온다. 왜 그렇게 잘 되는지에 대한 완전한 이론적 설명은 아직 없다는 점이 은근히 킹받는 부분. ↩

3. K62의 로그정규 가정이 물리적 근거보다 수학적 편의에서 왔다는 점은 랜다우가 곧바로 지적했다는 일화로 유명하다. 이른바 “랜다우의 반론” — 소산율의 분포는 유동의 대규모 구조에 의존하므로 보편적일 수 없다는 것. 지금도 유효한 지적이다. ↩

4. “그래서 실무 CFD에서 간헐성을 모형에 넣나?”라고 물으면, 대부분의 산업 해석은 안 넣는다. 평균장과 항력계수만 필요한데 고차 통계까지 갈아 넣을 이유가 없기 때문. 다만 연소·미세먼지·음향처럼 꼬리가 답을 정하는 문제로 넘어가는 순간 태도가 급변한다. ↩