공적분

1. 개요

공적분 Cointegration
정의	각각 $I(1)$ 인 계열의 어떤 선형결합이 $I(0)$
대표 표현	오차수정모형 (VECM): $\Delta y_t=\alpha\beta^\top y_{t-1}+\cdots$
검정	엥글-그레인저 2단계, 요한센 트레이스·최대 고유값
핵심 정리	그레인저 표현 정리: 공적분 ⇔ 오차수정
도입	그레인저 (1981), 엥글·그레인저 (1987)
상	2003 노벨 경제학상 (그레인저)

둘 다 술에 취해 비틀거리지만, 서로에게서 멀리 가지는 않는다.

공적분(cointegration)은 각각은 충격이 영원히 쌓이는 비정상 시계열인데, 그들의 어떤 선형결합은 평균으로 되돌아오는 정상 계열이 되는 관계다. 개별 계열은 랜덤 워크처럼 아무 데로나 흘러가지만, 그 사이를 잇는 “보이지 않는 용수철”이 있어 둘 사이의 거리만은 유한하게 머문다. 클라이브 그레인저가 1981년 개념을 내놓았고, 1987년 로버트 엥글과 함께 쓴 논문이 표현 정리·추정·검정을 한꺼번에 정리했다.

이 개념이 필요해진 배경은 허위 회귀다. 비정상 계열끼리 회귀하면 관계가 없어도 관계가 있다고 나온다. 반대로 진짜 장기 관계가 있는 계열을 무작정 차분해서 분석하면 그 관계를 통째로 버린다. 공적분은 그 둘 사이에서 “언제 수준(level)으로 회귀해도 되는가”에 답한다. 개별 계열의 비정상성 판정은 단위근 검정에, 다변수 시계열 모형 자체는 벡터 자기회귀에 있다. 이 문서는 허위 회귀가 어떻게 생기는지, 공적분이 VAR 의 계수 행렬에서 어떻게 보이는지, 두 대표 검정을 숫자로 확인한다.

2. 허위 회귀 — 왜 문제인가

서로 독립인 랜덤 워크 $x_t$, $y_t$ 를 만들고 $y_t=a+bx_t+u_t$ 를 최소제곱으로 맞춘 뒤, $b$ 의 $t$ 값이 $\lvert t\rvert>1.96$ 이면 “유의”라고 판정해 보자. 5000번 반복한 결과는 이렇다.

표본 길이 $T$	50	250	1000
”유의”로 나온 비율 (명목 5%)	67%	84%	92%
$R^2$ 중앙값	0.17	0.17	0.17
더빈-왓슨 통계량 중앙값	0.29	0.062	0.016

명목 5% 검정이 67~92% 의 확률로 “관계 있음”을 외친다. 게다가 데이터를 늘릴수록 더 나빠진다. 그레인저·뉴볼드(1974)가 이 현상을 몬테카를로로 보고했고, 필립스(1986)가 이론으로 설명했다. 귀무가설 아래 $t$ 통계량은 $\sqrt T$ 속도로 발산하고, $R^2$ 은 0으로 가지 않고 비퇴화 확률변수로 수렴하며, 더빈-왓슨 통계량은 0으로 간다. 잔차 $u_t$ 자체가 랜덤 워크라서 회귀 가정이 통째로 깨진 것이다. 그레인저·뉴볼드가 남긴 경험칙이 **”$R^2$ 이 더빈-왓슨보다 크면 허위 회귀를 의심하라”**다. 위 표에서 세 경우 모두 이 경보가 울린다.¹

3. 정의와 용수철 그림

계열 $y_t\in\mathbb R^K$ 의 성분이 모두 $I(1)$(한 번 차분하면 정상)일 때, $\beta^\top y_t$ 가 $I(0)$ 이 되는 0이 아닌 벡터 $\beta$ 가 있으면 $y_t$ 를 공적분되었다고 하고 $\beta$ 를 공적분 벡터라 한다. 서로 독립인 공적분 벡터의 최대 개수 $r$ 이 공적분 랭크다($0\le r<K$).

머리(1994)의 비유가 유명하다. 술 취한 사람이 귀가하는 경로는 랜덤 워크고, 목줄 없는 개의 경로도 랜덤 워크다. 그런데 개가 주인 이름을 부르는 소리를 들을 때마다 주인 쪽으로 다가가고, 주인도 개를 부르며 그쪽으로 다가간다면, 둘 다 어디로 갈지는 예측할 수 없어도 둘 사이 거리는 정상 과정이 된다. 물리로 바꾸면 용수철로 이어진 두 브라운 입자다. 질량 중심은 확산하지만 상대 좌표는 오른슈타인-울렌벡 과정이다. 공통으로 떠다니는 부분이 공통 확률적 추세, 묶여 있는 부분이 공적분 관계다.

4. 오차수정모형과 그레인저 표현 정리

$K$ 변수 VAR($p$) $y_t=\sum_{l=1}^pA_ly_{t-l}+\varepsilon_t$ 를 차분 형태로 다시 쓰면

$$\Delta y_t=\Pi\,y_{t-1}+\sum_{i=1}^{p-1}\Gamma_i\,\Delta y_{t-i}+\varepsilon_t,\qquad \Pi=\sum_{l=1}^{p}A_l-I$$

이다. 이게 벡터 오차수정모형(VECM)이다. 모든 것이 $\Pi$ 의 랭크에 달려 있다.

• 랭크 $K$: $\Pi$ 가 가역이면 $y_t$ 자체가 정상이다. 단위근이 없다.
• 랭크 0: $\Pi=0$ 이면 차분의 VAR 만 남는다. 장기 관계가 없다.
• 랭크 $0<r<K$: $\Pi=\alpha\beta^\top$ ($\alpha,\beta$ 는 $K\times r$)로 분해된다. $\beta^\top y_{t-1}$ 이 지난 시점의 “균형에서 벗어난 정도”, $\alpha$ 가 각 변수가 그 오차를 얼마나 빨리 메우는지를 나타내는 조정 속도다.

엥글·그레인저의 표현 정리는 이 세 번째 경우를 정확히 말한다. $I(1)$ 계열이 공적분되어 있으면 오차수정 표현이 반드시 존재하고, 그 역도 성립한다. 장기 관계와 단기 조정이 한 식에 묶여 있다는 말이다. 행렬 쪽에서 보면 동반 행렬의 고유값 중 정확히 $K-r$ 개가 1이고 나머지는 단위원 안에 있다. 고유값 1에 대응하는 방향이 공통 추세 $K-r$ 개, 나머지가 공적분 방향이다.

이 구조에서 바로 나오는 실무 결론이 있다. 공적분된 계열을 차분해서 VAR 을 맞추면 오른쪽의 $\Pi y_{t-1}$ 항이 빠진 오설정 모형이 된다. 단기 예측은 그럭저럭 맞아도 장기 예측이 균형으로 돌아오지 않는다. 반대로 수준에서 VAR 을 그대로 맞추는 것은 추정 자체는 일치적이지만 일부 검정 통계량의 분포가 비표준이 된다. 그레인저 인과성 문서가 “공적분이 의심되면 오차수정모형으로 가라”고 한 게 이 이유다.

5. 엥글-그레인저 2단계 검정

변수가 둘이고 공적분 관계가 많아야 하나라면 가장 간단한 길은 이렇다.

1. 수준에서 $y_t=a+bx_t+u_t$ 를 최소제곱으로 맞춘다.
2. 잔차 $\hat u_t$ 에 단위근 검정(ADF)을 한다. 잔차가 정상이면 공적분이다.

함정은 2단계의 임계값이다. $\hat u_t$ 는 “잔차 분산이 최소가 되게” 고른 결합이라 실제보다 정상처럼 보이도록 편향되어 있다. 그래서 보통 DF 임계값을 쓰면 안 되고 더 왼쪽에 있는 별도 표(매키넌)를 써야 한다. 직접 확인하면, 공적분이 없는 독립 랜덤 워크 둘($T=250$, 상수 포함 회귀)로 1만 번 반복했을 때 잔차 DF 통계량의 분위수는 1% −3.97, 5% −3.36, 10% −3.04 였다. 단변수 상수 포함 DF 의 5% 임계값 −2.86 을 잘못 쓰면 15% 의 확률로 없는 공적분을 찾는다.

반대로 진짜 공적분 계열, 예컨대 $x_t$ 는 랜덤 워크, $y_t=1+2x_t+u_t$ 이고 $u_t$ 는 계수 0.8 인 AR(1) 인 경우를 같은 길이로 하나 만들어 보면, 1단계 기울기가 $\hat b=2.021$ 로 참값 2에 바짝 붙고 잔차 DF 통계량은 −6.08 로 임계값을 크게 넘는다. 기울기가 이렇게 정확한 것은 초일치성 때문이다. 공적분 회귀의 $\hat b$ 는 $\sqrt T$ 가 아니라 $T$ 속도로 수렴한다. 다만 유한 표본 편향이 있고 $t$ 통계량은 표준 분포가 아니므로, 기울기에 대한 추론이 필요하면 동적 OLS(DOLS)나 완전 수정 OLS(FMOLS)를 쓴다.

엥글-그레인저 방식의 한계는 분명하다. 어느 변수를 좌변에 놓느냐에 결과가 달라질 수 있고, 변수가 셋 이상이면 공적분 관계가 여러 개일 수 있는데 그걸 하나밖에 못 찾는다.

6. 요한센 검정 — 고유값 문제로 푼다

요한센(1988, 1991)은 VECM 전체를 최대우도로 추정하면서 랭크 $r$ 을 검정하는 방법을 만들었다. 핵심은 $\Pi$ 의 랭크 제약 추정이 정준상관 문제, 즉 일반화 고유값 문제로 환원된다는 것이다. 단기 동학 $\Gamma_i$ 를 회귀로 걷어 낸 뒤 $\Delta y_t$ 의 잔차 $R_0$ 와 $y_{t-1}$ 의 잔차 $R_1$ 의 공분산 행렬 $S_{ij}$ 로

$$\det\!\left(\lambda S_{11}-S_{10}S_{00}^{-1}S_{01}\right)=0$$

을 풀어 고유값 $1>\hat\lambda_1\ge\cdots\ge\hat\lambda_K\ge0$ 을 얻는다. 큰 고유값이 강한 정상 결합에 대응한다. 두 통계량은

$$\text{트레이스: }\;-T\sum_{i=r+1}^{K}\ln(1-\hat\lambda_i),\qquad \text{최대 고유값: }\;-T\ln(1-\hat\lambda_{r+1})$$

이고, $r=0$ 부터 차례로 “랭크가 $r$ 이하”를 검정해 처음 기각하지 못한 $r$ 에서 멈춘다. 분포는 역시 브라운 운동의 범함수라 별도 표가 필요하고, 상수·추세를 어디에 넣느냐(공적분 관계 안인가 밖인가)에 따라 다섯 가지 경우의 다른 표를 쓴다. statsmodels 의 coint_johansen 은 det_order 인자로 이걸 고른다. 결정론 항 선택을 잘못하면 랭크 판정이 뒤집히는 일이 흔하므로, 그래프를 보고 고르는 것이 국룰이다.

추정된 $\beta$ 는 임의의 가역 행렬 곱만큼 정해지지 않는다($\alpha\beta^\top=\alpha Q^{-1}(\beta Q^\top)^\top$). 해석하려면 각 관계를 한 변수 계수 1로 정규화하는 등 식별 제약을 걸어야 한다. 소프트웨어가 내놓은 $\beta$ 열을 “경제적 관계”로 바로 읽으면 안 되는 이유다.²

7. 어디에 쓰나

• 경제·금융: 구매력 평가(환율과 두 나라 물가), 이자율 기간 구조(만기별 금리), 소비와 소득, 현물과 선물 가격. 두 자산의 공적분 스프레드가 평균으로 돌아올 것에 거는 페어 트레이딩도 같은 논리다.
• 기후·지구과학: 전지구 평균 기온과 복사강제력처럼 둘 다 추세를 가진 관측 계열 사이의 장기 관계를 추정할 때 쓰였다. 허위 회귀를 피하면서 수준 관계를 보려는 목적이다.
• 모형 검증: 시뮬레이션 출력과 관측 계열이 둘 다 추세를 가질 때, 두 계열의 상관계수를 보는 대신 “차이(또는 추정한 결합)가 정상인가”를 검정하면 허위 일치를 걸러 낼 수 있다. 상관계수는 추세 두 개만 있으면 얼마든지 높게 나온다.

어느 경우든 공적분은 “같이 움직인다”보다 강한 주장이다. 두 계열이 같은 확률적 추세를 공유하고, 벌어지면 되돌아오는 기제가 있다는 뜻이다. 그만큼 판정에는 긴 데이터가 필요하고, 단위근 검정 문서의 검정력 문제가 여기서도 그대로 따라온다.³

8. 관련 문서

• 단위근 검정 · 벡터 자기회귀 · 자기회귀 모형 · 그레인저 인과성
• 동반 행렬 · 최대우도추정 · 브라운 운동
• 랜덤 워크 · 오른슈타인-울렌벡 과정 · 정준상관분석 · 페어 트레이딩

9. Footnotes

1. 허위 회귀의 고전 짤은 “영국의 사망률과 영국 국교회 결혼 비율”의 상관이다. 율(1926)이 이미 “왜 가끔 말도 안 되는 상관이 나오는가”라는 논문을 썼으니, 이 문제는 계량경제학보다 오래됐다. 해결은 반세기 넘게 걸렸다. ↩

2. 요한센 검정 결과표를 받아 든 대학원생의 국룰 반응: “랭크 1 나왔다! … 그런데 이 벡터는 뭘 뜻하지?” 정규화를 안 하면 영원히 모른다. ↩

3. 2003년 노벨 경제학상은 그레인저(공적분)와 엥글(ARCH 모형)이 함께 받았다. 1987년 공동 논문의 두 저자가 각자 다른 업적으로 같은 해 상을 받은 셈이라, 시상식 날 축하 인사가 꽤 헷갈렸을 것이다. ↩