단위근 검정

1. 개요

단위근 검정 Unit root test
질문	$y_t=\rho y_{t-1}+\varepsilon_t$ 에서 $\rho=1$ 인가
대표 검정	디키-풀러(DF), 확장 DF(ADF), 필립스-페론(PP)
귀무가설 반대	KPSS (귀무 = 정상)
통계량 분포	표준 $t$ 아님 — 브라운 운동의 범함수
5% 임계값	상수 없음 −1.95 / 상수 −2.86 / 상수+추세 −3.41
약점	$\rho$ 가 1 근처면 검정력이 낮음, 구조 변화에 속음

$t$ 값이 −2.5 면 유의하다고? 단위근 앞에서는 아니다.

단위근 검정(unit root test)은 시계열이 충격을 시간이 지나면 잊는 정상 과정인지, 충격이 영원히 누적되는 랜덤 워크형 과정인지를 가리는 통계 검정이다. AR(1) $y_t=\rho y_{t-1}+\varepsilon_t$ 에서 특성 방정식의 근이 단위원 위에 있는 경우($\rho=1$)를 “단위근이 있다”고 부르는 데서 이름이 왔다. 1979년 데이비드 디키와 웨인 풀러의 논문이 출발점이다.

이 검정이 따로 문서를 차지하는 이유는 평범한 회귀의 $t$ 검정을 그대로 쓰면 틀리기 때문이다. 귀무가설 $\rho=1$ 아래에서 최소제곱 추정량은 정규분포로 수렴하지 않고, $t$ 통계량은 왼쪽으로 크게 치우친 비표준 분포를 따른다. 이 문서는 그 분포가 어디서 나오는지, 임계값과 검정력을 몬테카를로로 직접 확인한 결과, 그리고 실무에서 검정 결과를 읽는 법을 다룬다. AR 모형의 정상성 조건 자체는 자기회귀 모형에, 단위근이 둘 이상의 계열에 공통으로 있을 때의 이야기는 공적분에 있다.

2. 왜 정상성부터 묻나

$\lvert\rho\rvert<1$ 이면 $y_t$ 는 평균 주위로 돌아오고, 분산이 $\sigma^2/(1-\rho^2)$ 로 유한하며, 먼 과거의 충격은 $\rho^k$ 로 사라진다. $\rho=1$ 이면 $y_t=y_0+\sum_{s\le t}\varepsilon_s$ 라서 분산이 $t\sigma^2$ 로 커지고, 충격이 영원히 남는다. 이런 계열을 1차 적분(integrated of order 1), $I(1)$ 이라 하고, 한 번 차분 $\Delta y_t=y_t-y_{t-1}$ 하면 정상인 $I(0)$ 이 된다.

이 구분이 중요한 이유는 두 가지다.

• 회귀가 거짓말을 한다. 서로 무관한 $I(1)$ 계열 둘을 회귀하면 기울기가 “유의”하게 나오는 일이 흔하다. 이게 공적분 문서의 허위 회귀 이야기다.
• 예측의 성격이 다르다. 정상 과정의 장기 예측은 평균으로 돌아가고 예측 구간이 일정한 폭으로 수렴한다. 단위근 과정은 현재 값에서 멈춰 있고 예측 구간이 $\sqrt h$ 로 계속 벌어진다.

시뮬레이션 쪽에서도 같은 질문이 나온다. 분자동역학의 총에너지, 마르코프 연쇄 몬테카를로의 추적값, 장시간 기후 적분의 전지구 평균 기온이 “평형 주위에서 요동”하는지 “아직 표류 중”인지를 정량적으로 묻는 도구가 이것이다.

3. 디키-풀러 검정

양변에서 $y_{t-1}$ 을 빼서 $\gamma=\rho-1$ 에 대한 회귀로 바꾼다.

$$\Delta y_t = \underbrace{\alpha}_{\text{상수}}+\underbrace{\beta t}_{\text{추세}}+\gamma\,y_{t-1}+\varepsilon_t, \qquad H_0:\gamma=0\;(\text{단위근}),\quad H_1:\gamma<0\;(\text{정상}).$$

통계량은 $\hat\gamma$ 의 보통 $t$ 비율 $\tau=\hat\gamma/\mathrm{se}(\hat\gamma)$ 이다. 식은 평범한 회귀지만 귀무가설 아래 분포가 평범하지 않다. 상수·추세가 없는 경우 $T\to\infty$ 에서

$$T(\hat\rho-1)\;\Rightarrow\;\frac{W(1)^2-1}{2\int_0^1W(r)^2\,dr},\qquad \tau\;\Rightarrow\;\frac{W(1)^2-1}{2\left(\int_0^1W(r)^2\,dr\right)^{1/2}}$$

로 수렴한다. $W$ 는 표준 브라운 운동이다. 랜덤 워크를 시간 $T$ 로 축척하면 브라운 운동이 된다는 함수형 중심극한정리(돈스커 정리)에서 나오는 결과다. 두 가지가 눈에 띈다.

• 수렴 속도가 $T$ 다. 정상 AR 에서는 $\sqrt T(\hat\rho-\rho)$ 가 정규로 가는데, 단위근에서는 $T(\hat\rho-1)$ 이 비퇴화 분포로 간다. 추정량이 오히려 더 빨리 정확해지는 초일치성(superconsistency)이다.
• 분자 $W(1)^2-1$ 이 음수 쪽으로 치우친다. $W(1)^2$ 은 자유도 1 카이제곱이라 절반 이상의 확률로 1보다 작다. 그래서 $\hat\rho$ 가 1보다 작게 나오는 편향이 있고 $\tau$ 분포가 왼쪽으로 밀린다.

3.1. 몬테카를로로 확인

순수 랜덤 워크($\rho=1$, $T=250$)를 2만 번 만들어 세 가지 회귀식으로 $\tau$ 를 계산하면 분위수가 이렇게 나온다.

회귀식	1%	5%	10%	정규 임계값 −1.645 를 쓰면 기각률
상수 없음	−2.58	−1.95	−1.62	9.6%
상수	−3.44	−2.85	−2.59	46%
상수 + 추세	−3.98	−3.43	−3.15	77%

분위수가 디키-풀러·풀러의 점근 임계값(상수 −2.86, 추세 −3.41 등)과 소수 둘째 자리까지 맞는다. 오른쪽 열이 핵심이다. 상수를 넣은 회귀에서 정규분포 임계값을 쓰면 진짜 랜덤 워크의 절반 가까이를 “정상”으로 판정한다. 추세를 넣으면 4번 중 3번 틀린다. 결정론 항을 넣을수록 분포가 왼쪽으로 더 밀리는 이유는, 상수·추세를 추정하면서 $y_{t-1}$ 에서 평균과 추세를 빼낸(탈평균된) 브라운 운동이 분포를 지배하기 때문이다.

같은 실험에서 $T(\hat\rho-1)$ 의 평균은 상수 없음 −1.77, 상수 포함 −5.33 이었다. $T=250$ 이면 상수 포함 회귀의 $\hat\rho$ 가 평균 $1-5.3/250\approx0.979$ 로, 진짜 단위근을 2% 정도 과소추정한다. 짧은 계열에서 “반감기”를 계산하면 실제보다 훨씬 빨리 평균으로 돌아오는 것처럼 보이는 이유다.

4. 확장: ADF, PP, KPSS

확장 디키-풀러(ADF). 오차가 백색 잡음이 아니라 자기상관이 있으면 DF 분포가 깨진다. 해법은 차분의 시차를 회귀에 넣는 것이다.

$$\Delta y_t=\alpha+\beta t+\gamma y_{t-1}+\sum_{i=1}^{p}\delta_i\,\Delta y_{t-i}+\varepsilon_t .$$

사이드·디키(1984)는 $p$ 를 표본 크기와 함께 적당히 늘리면(대략 $T^{1/3}$ 보다 느리게) ARMA 오차에서도 같은 극한 분포가 성립함을 보였다. 실무에서 $p$ 는 아카이케 정보기준이나 베이즈 정보 기준으로 고르거나, 슈베르트 규칙 $p_{\max}=\lfloor12(T/100)^{1/4}\rfloor$ 에서 출발해 마지막 시차가 유의할 때까지 줄인다. $p$ 가 너무 작으면 크기 왜곡(거짓 기각)이, 너무 크면 검정력 손실이 생긴다.

필립스-페론(PP). 시차를 넣는 대신 DF 통계량을 장기 분산 추정량(뉴이-웨스트 등)으로 사후 보정한다. 이분산에 강하지만, 이동평균 근이 음의 단위근에 가까우면 크게 왜곡된다는 것이 알려져 있다.

KPSS. 위 검정들은 모두 귀무가설이 단위근이다. 기각 못 했다고 단위근이 있다는 뜻은 아니고, 증거가 부족하다는 뜻일 뿐이다. 콰트코프스키·필립스·슈미트·신(1992)은 반대로 정상을 귀무가설로 두는 검정을 만들었다. 그래서 둘을 함께 돌려 표로 읽는 것이 국룰이다.

ADF	KPSS	해석
기각	기각 못 함	정상으로 보는 게 타당
기각 못 함	기각	단위근으로 보는 게 타당
기각 못 함	기각 못 함	데이터가 판단할 만큼 길지 않음
기각	기각	모형 오설정 의심(구조 변화, 비선형, 분수 적분 등)

statsmodels 의 adfuller 는 매키넌(1996)의 반응 곡면 회귀로 계산한 임계값과 근사 p-값을 준다. 위 표의 수치를 손으로 찾을 일은 거의 없지만, 어느 결정론 항으로 돌렸는지는 출력에서 꼭 확인해야 한다. regression='c' 와 'ct' 는 다른 분포를 쓴다.

5. 검정력 — 1 근처는 원래 안 보인다

같은 몬테카를로를 정상 AR(1)($\rho<1$)에 돌려, 상수 포함 ADF 가 5% 수준에서 단위근을 기각하는 비율(검정력)을 재면 다음과 같다.

	$\rho=0.90$	$\rho=0.95$	$\rho=0.98$
$T=100$	34%	13%	8%
$T=250$	97%	48%	12%

$\rho=0.98$ 은 반감기가 약 34 스텝인 엄연한 정상 과정인데, 250개 관측으로도 열에 아홉은 단위근과 구별하지 못한다. $T=100$ 이면 기각률 8% 로, 귀무가설이 참일 때의 5% 와 사실상 같다. 관측 개수보다 관측 구간 길이가 중요하다. 같은 1년치 데이터를 일 단위에서 분 단위로 쪼개도 $\rho$ 가 1에 더 가까워질 뿐 검정력은 거의 늘지 않는다. 평균 회귀의 “시간 척도”를 몇 번 지나쳐야 그걸 볼 수 있기 때문이다.¹

6. 구조 변화라는 함정

페론(1989)은 정상 과정이라도 평균이나 추세가 한 번 꺾이면 ADF 가 단위근을 기각하지 못한다는 것을 보였다. 꺾인 추세를 직선으로 맞추면 잔차가 오래 한쪽에 머물고, 그게 영구 충격처럼 보이기 때문이다. 넬슨·플로서(1982)가 미국 거시 계열 14개 중 대부분에서 단위근을 기각하지 못해 “거시경제 충격은 영구적”이라는 논쟁을 불렀는데, 페론은 1929년 대공황과 1973년 석유 파동을 구조 변화로 넣으면 상당수가 추세 정상으로 바뀐다고 반박했다. 이후 변화 시점을 데이터에서 찾는 지벗-앤드루스(1992) 같은 검정이 나왔다.

시뮬레이션 출력에서도 같은 일이 생긴다. 평형화 구간을 덜 잘라 낸 MD 에너지, 중간에 시간 간격이나 온도조절기 매개변수를 바꾼 기록은 “단위근 있음”으로 나오기 쉽다. 검정 전에 그림부터 그려라.²

7. 실전 순서

1. 그림을 그린다. 추세가 보이면 추세 항을, 0이 아닌 평균이면 상수 항을 넣는다. 귀무·대립 가설 양쪽에서 말이 되는 결정론 항을 고르는 것이 첫 결정이다.
2. ADF 와 KPSS 를 함께 돌린다. 시차 $p$ 는 정보기준으로, 결과가 $p$ 에 민감하면 그 사실 자체를 보고한다.
3. 단위근이면 차분해서 다시 검정한다. 차분한 계열에도 단위근이 있으면 $I(2)$ 다(드물지만 물가 수준 같은 계열에서 나온다).
4. 여러 계열이 모두 $I(1)$ 이면 차분 전에 공적분을 먼저 의심한다. 공적분이 있으면 차분만 한 벡터 자기회귀는 장기 관계를 버린 오설정이다.
5. 결론은 확률로 말한다. “단위근이 있다”가 아니라 “이 길이의 데이터로는 단위근과 $\rho\approx0.98$ 을 구별할 수 없다”가 정직한 문장이다.³

8. 관련 문서

• 자기회귀 모형 · 벡터 자기회귀 · 공적분 · 그레인저 인과성
• 브라운 운동 · 랜덤 워크 · 몬테카를로 방법 · 마르코프 연쇄 몬테카를로
• 아카이케 정보기준 · 베이즈 정보 기준
• 정상 과정 · 오른슈타인-울렌벡 과정 · 구조적 변화

9. Footnotes

1. 금융 쪽에서 “평균 회귀 전략” 백테스트가 실전에서 무너지는 단골 이유. 반감기가 2년인 스프레드를 6개월 데이터로 검정하면 검정은 아무것도 말해 주지 않는데, 사람은 뭔가를 들었다고 믿는다. ↩

2. “통계량부터 뽑고 그림은 나중에”는 시계열 분석의 대표적 현생 실수다. 단위근 검정 p-값 0.3 보다 그래프 한 장이 더 많은 걸 말해 주는 경우가 대부분이다. ↩

3. 크리스토퍼 심스 같은 베이지안 계량경제학자들은 애초에 $\rho=1$ 이라는 점 가설을 검정하는 것 자체가 이상하다고 비판했다. 사후분포로 보면 0.98 과 1.00 은 연속적으로 이어진 이웃일 뿐이라는 것이다. 이 논쟁은 아직도 깔끔하게 끝나지 않았다. ↩