난류 강도

1. 개요

난류 강도 Turbulence intensity
정의	I = u′rms / U
등방 환산	k = (3/2)(U I)2
짝 변수	난류 길이 스케일 ℓ 또는 점성비 νt/ν
전형값	저난류 풍동 ≪0.1%, 산업 배관 2~5%, 터보기계 5~20%
민감한 곳	천이 위치, 박리, 열전달, 자유류 감쇠

난류 강도(turbulence intensity, $I$ 또는 $Tu$)는 속도 요동의 제곱평균제곱근을 평균 속도로 나눈 무차원 수로, 「흐름이 평균에서 얼마나 흔들리는가」를 백분율로 적은 것이다. 풍동 성능 지표이자, RANS 난류 모델링 계산에서 입구에 반드시 넣어야 하는 경계값이다.

난류 모델링 문서는 「유입 경계조건이라는 숨은 변수」 절에서 $k = \frac{3}{2}(UI)^2$ 환산식과 길이 스케일 관례를 이미 정리했다. 여기서는 그 다음 이야기를 한다. $I$ 를 실제로 어떻게 재는지, 입구에서 넣은 값이 물체에 닿기 전에 얼마나 사라지는지, 그리고 그게 왜 천이 예측을 통째로 흔드는지. 결론부터 말하면, 입구에 5%를 넣었다고 물체가 5%를 보는 게 아니다.

2. 정의 — 성분과 기준 속도

가장 흔한 정의는 세 성분 평균이다.

$$I = \frac{\sqrt{\tfrac{1}{3}\left(\overline{u'^2} + \overline{v'^2} + \overline{w'^2}\right)}}{U} = \frac{\sqrt{2k/3}}{U}$$

여기서 $k = \frac12\overline{u_i'u_i'}$ 는 난류 운동에너지다. 이 식을 거꾸로 풀면 RANS 입구값 $k = \frac32 (UI)^2$ 가 된다. 주의할 점이 둘 있다.

• 풍동 측정은 대개 유동방향 한 성분만 쓴다. $Tu = u'_{\text{rms}}/U$. 수축부를 지난 흐름은 비등방성이 커서(유동방향 요동이 횡방향보다 작아지는 쪽으로 변한다) 한 성분 값과 세 성분 평균이 수십 %씩 다를 수 있다. 논문 값을 입구 조건으로 옮길 때 어느 정의인지 반드시 확인한다.
• 기준 속도 $U$ 가 국소 속도인지 자유류 속도인지 벌크 속도인지에 따라 경계층 안에서는 값이 몇 배 달라진다. 「경계층 안 난류 강도 20%」 같은 말은 기준이 국소 속도라는 뜻일 때가 많다.

3. 어떻게 재나

열선 풍속계(hot-wire anemometry)가 표준이다. 수 μm 굵기 텅스텐선을 일정 온도로 유지하고 냉각에 필요한 전력에서 속도를 역산한다. 주파수 응답이 수십 kHz라 작은 소용돌이까지 잡는다. X형 선을 쓰면 두 성분을 동시에 잰다. 저난류 풍동의 $Tu < 0.05\%$ 수준은 전자 잡음·전원 리플·전파 간섭과 싸워야 하는 영역이다.

레이저 도플러 유속계(LDV)·PIV는 비접촉이지만, 입자 추종성과 공간 평균 때문에 작은 스케일 요동을 깎아 먹는다. PIV 창 크기보다 작은 소용돌이는 평균되어 사라지므로 $I$ 를 과소평가하는 쪽으로 치우친다.

측정에서 중요한 것은 대역폭이다. 풍동의 저주파 맥동(팬 회전, 정재파)은 난류가 아닌데 rms에 섞인다. 그래서 풍동 난류도를 보고할 때는 「0.1 Hz~10 kHz 대역」처럼 필터 대역을 같이 적는 게 원칙이다¹.

4. 값의 감각

Ansys Fluent 매뉴얼의 분류를 그대로 옮기면 이렇다.

수준	$I$	예
낮음	1% 미만	저난류 풍동, 외부 공기역학의 자유류
중간	1~5%	복잡하지 않은 장치·저속 배관
높음	5~20%	터보기계 내부, 고속 배관, 연소기

완전발달 원관 유동 중심부에 대해서는 경험식 $I \approx 0.16\,Re_{D_h}^{-1/8}$ 가 같은 매뉴얼에 실려 있다. 실제로 넣어 보면 $Re = 10^4$ 에서 5.1%, $10^5$ 에서 3.8%, $10^6$ 에서 2.8% 다. 레이놀즈수가 100배 바뀌어도 $I$ 는 절반 정도밖에 안 바뀌는, 꽤 무딘 함수다.

5. 짝 변수 — I 하나로는 부족하다

2방정식 모델은 $k$ 하나가 아니라 $\varepsilon$ 또는 $\omega$ 도 요구한다. 즉 크기(얼마나 세게)와 스케일(얼마나 큰 소용돌이로) 두 정보가 필요하다. 입구 길이 스케일을 $\ell$ 로 주면

$$\varepsilon = C_\mu^{3/4}\frac{k^{3/2}}{\ell}, \qquad \omega = \frac{k^{1/2}}{C_\mu^{1/4}\,\ell}, \qquad C_\mu = 0.09$$

이고, 관 유동에서는 흔히 $\ell = 0.07\,D_h$ 를 쓴다. $U = 10$ m/s, $I = 5\%$, $D_h = 0.1$ m 로 넣어 보면 $k = 0.375$ m²/s², $\ell = 7$ mm, $\varepsilon \approx 5.39$ m²/s³, $\omega \approx 160$ s⁻¹, 공기($\nu = 1.5\times10^{-5}$)에서 점성비 $\nu_t/\nu \approx 157$ 이다.

실무에서는 $\ell$ 대신 점성비 $\nu_t/\nu$ 를 주기도 한다(외부 유동 자유류는 1~10 정도). 둘 중 무엇을 주든 핵심은 같다. 같은 $I$ 라도 스케일이 다르면 감쇠 속도가 다르다.

6. 입구에서 물체까지 — 자유류 감쇠

생산항이 없는 자유류(전단 0)에서 $k$-$\varepsilon$ 모델은 두 상미분방정식으로 줄어든다.

$$\frac{dk}{dt} = -\varepsilon, \qquad \frac{d\varepsilon}{dt} = -C_{\varepsilon 2}\frac{\varepsilon^2}{k}$$

이를 풀면 $k(t) = k_0\left[1 + (C_{\varepsilon2}-1)\frac{\varepsilon_0}{k_0}t\right]^{-1/(C_{\varepsilon 2}-1)}$, 즉 멱법칙 $k \propto t^{-n}$ 이고 $C_{\varepsilon 2} = 1.92$ 면 $n = 1/0.92 \approx 1.09$ 다. k-오메가 SST 모델의 바깥쪽($k$-$\omega$ 계열)은 $n = \beta^*/\beta$ 로 $0.09/0.075 = 1.2$ 다. 격자 난류 실험(Comte-Bellot & Corrsin, 1966)은 대략 $n \approx 1.2\text{~}1.3$ 을 보고해 모델 값들과 같은 범위에 있다.

위 예제($k_0 = 0.375$, $\varepsilon_0 = 5.39$, $U = 10$ m/s)를 이 식으로 흘려보내면 국소 난류 강도가 이렇게 줄어든다.

입구에서 거리	0	0.1 m	0.5 m	1 m	5 m
$I$	5.0%	4.7%	3.8%	3.2%	1.7%

입구에 5%를 넣어도, 입구를 5 m 앞에 두면 물체는 1.7%를 본다. 스펠러트·럼지(Spalart & Rumsey, 2007)가 공기역학 계산에서 이 문제를 정리했다. 그들의 권고는 「입구 $I$ 를 맞추는 게 아니라 물체 위치에서 원하는 값이 되도록 입구값과 점성비를 함께 고르라」는 것이다. 점성비를 크게(길이 스케일을 크게) 주면 감쇠가 느려지지만, 지나치게 크면 그 자체가 비물리적인 와점성을 물체 주위에 퍼뜨린다. 일부 코드는 아예 자유류 영역에서 소멸항을 꺼 버리는 「유지항(sustaining terms)」 옵션을 둔다².

7. 왜 중요한가 — 천이

경계층이 언제 난류로 바뀌는지는 자유류 난류 강도에 극도로 민감하다. 저난류($Tu \lesssim 0.1\%$)에서는 톨미엔-슐리히팅 파동의 선형 증폭이 천이를 지배해 $e^N$ 법을 쓰고, $Tu$ 가 약 1%를 넘으면 그 단계를 건너뛰는 우회 천이(bypass transition)가 나타난다. 난류 천이 문서가 $N_{crit}$ 를 $Tu$ 로 조정하는 판 잉언 보정을 다룬다. $\gamma$-$Re_\theta$ 같은 상관식 천이 모델(Menter 등 2006)은 아예 국소 $Tu$ 를 입력으로 받는다. 그러니 앞 절의 감쇠를 무시하면 천이 위치가 크게 움직이고, 항력·열전달 예측이 같이 움직인다.

박리와 열전달도 같은 방향이다. 자유류 난류가 강할수록 운동량이 벽 근처로 섞여 들어와 박리가 늦어지고, 정체점 열전달이 커진다. 터빈 블레이드 냉각 설계가 입구 난류 강도에 그토록 신경 쓰는 이유다.

8. 실무 체크리스트

• 실험 값을 옮길 때 성분 수·기준 속도·필터 대역을 확인한다.
• $I$ 와 함께 $\ell$ 또는 $\nu_t/\nu$ 를 반드시 같이 준다. 기본값 그대로 두지 않는다.
• 입구-물체 거리가 길면 감쇠 후 값을 계산하거나, 물체 앞 단면에서 $I$ 를 찍어 확인한다.
• LES·DES 입구는 $I$ 숫자 하나로 안 된다 — 공간·시간 상관을 가진 요동이 필요하다(합성 난류 생성, 재순환 입구). 무작위 백색 잡음을 넣으면 첫 몇 셀 안에서 다 소산된다³.

9. 관련 문서

• 난류 · 난류 모델링 · k-엡실론 모델 · k-오메가 SST 모델
• 난류 천이 · 경계층 · 벽함수 · 경계 조건
• 대와류 모사 · 콜모고로프 스케일 · 합성 난류 생성 · 열선 풍속계

10. Footnotes

1. 「우리 풍동 난류도 0.02%」라는 자랑의 절반은 필터 대역 선택에서 나온다. 대역을 안 적은 난류도는 반쯤 마케팅이다. ↩

2. 소멸항을 끄는 건 「자유류 난류가 안 죽는다」는 비물리적 가정이지만, 「입구를 어디 두느냐에 따라 답이 바뀐다」는 더 나쁜 비물리성을 없애려는 타협이다. ↩

3. 셀 하나 크기의 요동은 수치 소산이 가장 먼저 잡아먹는 스케일이다. 입구에 소금 뿌리듯 잡음을 뿌리면 소금은 첫 셀에서 다 녹는다. ↩