다르시 법칙

1. 개요[편집]

다르시 법칙 Darcy's law
발표	Henry Darcy (1856), 『디종 시의 공공 분수』 부록
미분형	q = −K dh/dx (1차원)
일반형	q = −(k/μ)(∇p − ρg)
두 물성	수리전도도 K [m/s] · 고유투과도 k [m²]
연결	K = kρg/μ
유효 범위	공극 레이놀즈수 Rep ≲ 1~10
수치해법	혼합유한요소 · 유한체적 (플럭스 연속성)

물리 법칙이 아니라 회귀식으로 태어났는데, 60년 뒤에 스토크스 방정식에서 유도되면서 법칙 자격을 사후 취득했다.

다르시 법칙(Darcy’s law)은 다공성 매질을 통과하는 유체의 겉보기 유속이 수두 구배에 비례한다는 선형 관계로, 1차원에서

$$q=-K\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x},\qquad h=z+\frac{p}{\rho g}$$

로 쓴다. $q=Q/A$ 는 매질 전체 단면적으로 나눈 겉보기 유속(specific discharge, 다르시 플럭스)이고 $h$ 는 수두(피에조 수두), $K$ 는 수리전도도다. 음부호는 물이 수두가 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 간다는 뜻일 뿐이다.

지하수 해석, 저류층 공학, 토양물리, 연료전지 확산층, 콘크리트 내부 수분 이동 — 공극이 있는 물질 안의 흐름을 다루는 거의 모든 분야가 이 한 줄 위에 서 있다. 매질 전체의 관점에서 본 다공성 유동의 일반론은 다공성 매질 유동에 있고, 이 문서는 다르시 법칙 자체의 유도·물성 분리·한계·이산화를 다룬다.¹

2. 1856년 디종의 모래기둥[편집]

앙리 다르시(Henry Darcy, 1803~1858)는 고향 디종의 상수도를 설계한 토목기술자다. 정수용 모래여과지를 설계하다가 “모래층을 얼마나 두껍게 하면 물이 얼마나 통과하는가”라는, 순수하게 실무적인 질문에 부딪혔다.

장치는 단순했다. 수직 원통에 모래를 채우고 위에서 물을 부어 정상류를 만든 뒤, 모래층 위아래에 수은 압력계를 달아 수두차 $\Delta h$ 를 재고 아래로 나오는 유량 $Q$ 를 측정했다. 결과는 놀랄 만큼 깔끔했다.

$$Q=K\,A\,\frac{h_1-h_2}{L}$$

• $Q$ 는 $\Delta h$ 에 정확히 비례했다. 제곱근도 제곱도 아닌 1차였다.
• 비례상수는 모래 종류가 바꾸면 바뀌었고, 같은 모래면 유량과 무관하게 일정했다.

이 결과는 1856년 저서 『Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon』의 부록(Note D)에 실렸다. 상수도 설계 보고서 부록에 붙은 실험 하나가 지하수학과 석유공학의 출발점이 된 셈이다. 다르시는 이듬해 관로 마찰 실험도 발표해 달시-바이스바흐 식의 조도 항에도 이름을 남긴다 — 같은 사람이다.

3. K와 k를 갈라야 하는 이유[편집]

원래 실험이 물만 다뤘기 때문에 다르시의 $K$ 는 매질과 유체의 성질이 뒤엉킨 값이었다. 유체가 바뀌는 상황(기름, 가스, 뜨거운 물)을 다루려면 이걸 갈라야 한다. 압력과 중력을 분리해서 다시 쓰면

$$\mathbf{q}=-\frac{k}{\mu}\left(\nabla p-\rho\mathbf{g}\right), \qquad K=\frac{k\rho g}{\mu}$$

가 되고, 여기서

• $k$ — 고유투과도(intrinsic permeability), 단위 $\mathrm{m^2}$. 매질의 기하 구조만의 함수다. 같은 모래층이면 물이 흐르든 원유가 흐르든 같은 값.
• $K$ — 수리전도도(hydraulic conductivity), 단위 $\mathrm{m/s}$. 매질 + 유체 + 온도의 함수.

이 분리가 실무에서 중요한 이유가 몇 가지 있다.

단위가 다른 두 문화. 지하수 쪽은 물이 유일한 유체라 $K\,[\mathrm{m/s}]$ 를 쓰고, 석유·가스 쪽은 다상이라 $k$ 를 쓰되 SI 대신 다르시(darcy, $1\,\mathrm{D}\approx9.87\times10^{-13}\,\mathrm{m^2}$)를 쓴다. 저류층 논문의 밀리다르시(mD)가 이것이다. 이 위키의 다공성 매질 유동 문서는 공학 관례를 따라 $K$ 를 투과도 $[\mathrm{m^2}]$ 로 쓰고 있으니, 기호가 아니라 단위를 보고 판단해야 한다.

온도가 유량을 바꾼다. $K\propto1/\mu$ 인데 물의 점성계수는 5°C에서 $1.52\,\mathrm{mPa\cdot s}$, 25°C에서 $0.89\,\mathrm{mPa\cdot s}$ 다. 즉 같은 지층이라도 여름 지하수가 겨울 지하수보다 1.7배 잘 흐른다. 지열 시스템이나 심부 저류층 해석에서 등온 가정을 쓸 수 없는 이유.

수리전도도의 실측 범위는 자릿수가 무시무시하다.

매질	K (m/s)
자갈	10⁻² ~ 1
조립 모래	10⁻⁴ ~ 10⁻²
세립·실트질 모래	10⁻⁶ ~ 10⁻⁴
실트, 뢰스	10⁻⁸ ~ 10⁻⁶
점토	10⁻¹¹ ~ 10⁻⁹
균열 없는 화강암	10⁻¹³ ~ 10⁻¹⁰

13자리다. 지하수 모델에서 격자 해상도를 두 배 올리는 노력보다 $K$ 를 반자리 좁히는 조사가 언제나 더 값지다는 말이 여기서 나온다.²

4. 스토크스 방정식에서 유도하기[편집]

다르시 법칙이 경험식에 머물지 않는 것은 균질화(homogenization)로 공극 규모 방정식에서 유도되기 때문이다. 논리는 이렇다.

공극 크기 $\ell$ 과 거시 길이 $L$ 의 비 $\epsilon=\ell/L\ll1$ 을 잡는다. 공극 안의 실제 유동은 공극 레이놀즈수가 작으므로 스토크스 유동이다.

$$\mu\nabla^2\mathbf{v}=\nabla p,\qquad \nabla\cdot\mathbf{v}=0,\qquad \mathbf{v}=0\ \text{on 고체 표면}$$

매질이 주기 셀 $Y$ 의 반복이라 가정하고 속도·압력을 $\epsilon$ 의 멱급수와 두 스케일 변수 $(\mathbf{x},\mathbf{y}=\mathbf{x}/\epsilon)$ 로 전개해 차수별로 정리하면, 셀 문제가 하나 떨어진다. 각 방향 $\mathbf{e}_i$ 에 대해 셀 안에서

$$-\nabla_y^2\mathbf{w}^i+\nabla_y\pi^i=\mathbf{e}_i,\qquad \nabla_y\cdot\mathbf{w}^i=0,\qquad \mathbf{w}^i=0\ \text{on 고체}$$

를 풀고, 그 해를 셀 부피로 평균한 것이 투과도다.

$$k_{ij}=\langle w^i_j\rangle_Y$$

이 유도가 주는 것은 공식이 아니라 성질이다.

• 왜 선형인가. 스토크스 방정식이 선형이기 때문이다. 관성항이 살아나는 순간 이 논리는 무너진다.
• $k$ 가 왜 기하만의 함수인가. 셀 문제에 $\mu$ 도 $\rho$ 도 안 들어 있다.
• $k$ 는 대칭 양정치 텐서다. 셀 문제의 변분 구조에서 따라 나온다. 즉 $k_{ij}=k_{ji}$ 이고 고유값이 전부 양수라, 흐름은 항상 압력이 내려가는 쪽으로 간다(에너지 소산이 양수). 수치 이산화에서 이 성질을 깨는 도식은 그 자체로 틀렸다.

엄밀한 수렴 증명은 상세니-팔렌시아와 타르타르(1980년경), 이후 알레르의 2-스케일 수렴으로 정리됐다. 물론 실제 지층이 주기적일 리는 없고, 그래서 이 유도는 “다르시 법칙이 정당한 이유”를 설명하지 실제 $k$ 를 주지는 않는다. 실제 $k$ 는 시추공 시험과 역문제 보정으로 얻는다.

5. 이방성 — K는 텐서다[편집]

퇴적층은 층리를 따라 잘 흐르고 층리를 가로질러서는 못 흐른다. 따라서 일반형은

$$\mathbf{q}=-\mathbf{K}\nabla h,\qquad \mathbf{K}=\begin{pmatrix}K_{xx}&K_{xy}&K_{xz}\\ K_{xy}&K_{yy}&K_{yz}\\ K_{xz}&K_{yz}&K_{zz}\end{pmatrix}$$

이다. 텐서라는 사실의 직접적 귀결은 $\mathbf{q}$ 와 $\nabla h$ 가 일반적으로 나란하지 않다는 것. 등수두선에 수직으로 물이 흐른다는 학부 그림은 등방 매질에서만 맞다.

두께 $b_i$, 전도도 $K_i$ 인 층이 쌓인 성층 매질의 등가 전도도는 방향에 따라 평균이 갈린다.

$$K_\parallel=\frac{\sum b_iK_i}{\sum b_i}\ (\text{산술평균}), \qquad K_\perp=\frac{\sum b_i}{\sum b_i/K_i}\ (\text{조화평균})$$

층에 평행한 흐름은 가장 잘 통하는 층이 지배하고(병렬 저항), 수직 흐름은 가장 안 통하는 층이 지배한다(직렬 저항). 점토 한 겹이 끼면 수직 전도도가 통째로 그 점토 값으로 떨어진다는 뜻이며, 실제 대수층의 $K_\parallel/K_\perp$ 가 10~100인 이유가 이것이다. 폐기물 매립장 차수층 설계, 오염물 수직 이동 평가가 전부 이 비대칭 위에 있다.

6. 언제 깨지는가[편집]

위쪽 한계 — 관성. 유속이 올라가면 공극 안에서 유체가 굽이치며 관성 손실이 생겨 $\nabla p$ 가 $q$ 의 제곱 성분을 갖는다. 판별자는 공극 레이놀즈수 $Re_p=\rho q d/\mu$ 이고, 대략 $Re_p\gtrsim1{\sim}10$ 부터 어긋나기 시작한다. 보정한 것이 포체이머 방정식이며 자세한 형태와 에르군 식은 다공성 매질 유동에 있다. 실무에서 이 영역에 들어가는 것은 자갈 필터, 파쇄암 균열, 유정 근방(반경이 작아 유속이 폭증한다), 촉매 충전층 정도다. 흔한 오해 하나 — 관성항이 생겼다고 난류가 된 것이 아니다.

기체의 미끄럼 — 클링켄버그 효과. 공극 지름이 기체 평균자유행정과 비슷해지면 벽에서 점착 조건이 깨져 겉보기 투과도가 압력에 의존한다. $k_{app}=k_\infty(1+b/\bar p)$ 로 보정하며, 저투과도 셰일 가스 해석의 기본 항목이다.

아래쪽 한계 — 문턱 구배. 치밀한 점토에서 아주 작은 구배를 걸면 유량이 선형 예측보다 작게 나온다는 보고가 오래 있었다. 물-점토 표면의 흡착층 때문이라는 설명이 유력하지만, 상당 부분은 미시 유량 측정의 실험 오차·비정상 상태 미도달로 설명된다는 반론도 강하다. 확정된 사실로 취급하지 않는 편이 안전하다.

대표체적요소가 없을 때. 균열 하나가 전체 유량을 지배하는 파쇄암, 채널 폭이 입자 서너 개인 미세유체에서는 평균화 자체가 성립하지 않는다. 이때는 공극 규모 직접 모사(격자 볼츠만 방법이 자주 쓰인다)나 이산균열망 모델로 내려가야 한다.

7. K 를 실제로 재는 법[편집]

다르시 법칙 자체는 두 줄이지만, 그 안의 $K$ 를 얻는 일이 이 분야 노동의 대부분이다. 방법은 지지체적(support volume)의 크기 순으로 늘어선다.

정수두 투수시험(constant head). 다르시의 원래 장치 그대로다. 시료에 일정 수두차를 걸고 유출량을 잰다.

$$K=\frac{Q\,L}{A\,\Delta h}$$

투수성이 좋은 모래·자갈용이다. 점토에 쓰면 유량이 너무 적어 며칠을 기다려도 눈금이 안 움직인다.

변수두 투수시험(falling head). 세립토용. 가는 스탠드파이프의 수위가 $h_1$ 에서 $h_2$ 로 떨어지는 시간을 잰다.

$$K=\frac{a\,L}{A\,t}\ln\frac{h_1}{h_2}$$

$a$ 는 스탠드파이프 단면적. $a$ 를 작게 할수록 느린 흐름을 잡아낼 수 있다는 것이 이 방법의 트릭이다.

양수시험(pumping test). 관정에서 일정 유량으로 뽑으면서 주변 관측정의 수위 강하를 시간에 따라 기록하고, 타이스 해나 쿠퍼-제이콥 직선법에 맞춰 $T$ 와 $S$ 를 역산한다. 시험 하나가 수백 m 반경의 대수층 전체를 평균한다.

슬러그 테스트. 관정에 물을 순간 붓거나 빼고 수위 회복을 본다. 싸고 빠르지만 지지체적이 관정 주변 몇 m뿐이다.

여기서 이 분야 최대의 골칫거리가 등장한다 — $K$ 는 잰 부피에 따라 값이 달라진다. 코어 시료로 잰 값보다 슬러그 테스트가, 그보다 양수시험이, 그보다 모델 보정으로 얻은 값이 대체로 크게 나온다. 지지체적이 커질수록 균열·조립 렌즈 같은 고투수 경로가 표본에 포함될 확률이 올라가고, 흐름은 그 경로를 골라 가기 때문이다. 실험실 값을 그대로 지역 모델에 넣으면 유량이 계통적으로 과소평가된다는 뜻이며, 이 스케일 의존성이 지하수 모델링에서 격자 해상도보다 훨씬 큰 오차원이다.³

8. 지하수 유동방정식으로[편집]

다르시 법칙에 질량보존을 결합하면 풀 수 있는 방정식이 된다. 저류계수를 $S_s$ (단위 수두 강하당 단위 부피에서 빠져나오는 물의 부피), 원천항을 $W$ 라 하면

$$S_s\frac{\partial h}{\partial t}=\nabla\cdot\left(\mathbf{K}\nabla h\right)+W$$

이다. 형태를 보면 알겠지만 비등방 열전도 방정식과 완전히 같은 골격이며, 정상상태에서 $\mathbf{K}$ 가 상수면 그냥 라플라스 방정식이다. 피압대수층에서는 두께 $b$ 로 연직 적분해 투수량계수 $T=Kb$, 저류계수 $S=S_sb$ 를 쓰는 2차원 형태가 표준이고, 여기서 나온 타이스(Theis) 해가 양수시험 해석의 기본이다.

두 가지 확장이 곧바로 갈라져 나온다.

• 불포화대로. 위 식은 공극이 물로 가득 찼을 때만 맞다. 공기가 섞이면 $K$ 가 함수량의 함수가 되고, 그 결과가 리처즈 방정식이다. 그 극한을 급격전선으로 잘라낸 것이 그린-암프트 모형.
• 다상으로. 물-기름-가스가 공존하면 각 상마다 상대투과도 $k_{r\alpha}(S_\alpha)$ 를 곱한 다상 다르시 법칙을 쓰고, 모세관압으로 상 압력들을 묶는다. 다상유동 문서의 저류층 해석이 이것.

9. 왜 혼합유한요소·유한체적인가[편집]

수두를 구하는 것이 목적이라면 표준 유한요소법(연속 갤러킨)으로 충분하다. 문제는 거의 아무도 수두만 원하지 않는다는 것이다. 지하수 문제의 최종 산출물은 대개 오염물 도달 시간이고, 그러려면 얻은 속도장을 대류-확산 방정식 솔버에 넘겨야 한다.

여기서 연속 갤러킨이 무너진다. 수두를 요소별 다항식으로 잡으면 $\mathbf{q}=-\mathbf{K}\nabla h$ 는 요소 경계에서 법선 성분이 불연속이다. 즉 셀 하나에 들어간 물의 양과 나간 양이 안 맞고, 그 차이가 이송 솔버에게는 없는 우물과 없는 샘으로 보인다. 농도가 1을 넘거나 음수가 되는 고전적 사고가 여기서 난다. 그래서 두 갈래가 표준이 됐다.

혼합유한요소법. $h$ 와 $\mathbf{q}$ 를 동시에 미지수로 두고, 플럭스를 라비아르-토마스 공간에서 근사한다. 이 공간은 면 법선 성분의 연속성을 자유도 정의 자체에 박아 넣기 때문에 플럭스 연속성이 구조적으로 보장된다. 게다가 $\nabla\cdot\mathbf{q}=W$ 가 요소별로 정확히 만족되고, 플럭스의 수렴 차수가 갤러킨보다 한 차수 높다. 대가는 안장점(saddle point) 구조의 부정치 희소행렬인데, 혼성화(hybridization)로 면 라그랑주 승수만 남기면 다시 대칭 양정치가 되어 다중격자법을 태울 수 있다.

유한체적법. 검사체적 단위로 플럭스를 정의하니 보존은 정의상 공짜다. 가장 흔한 2점 플럭스 근사(TPFA)는

$$F_{ij}=-T_{ij}\,(h_j-h_i),\qquad T_{ij}=\frac{|\sigma_{ij}|}{d_i/K_i+d_j/K_j}$$

로 전도도의 조화평균을 쓰는데, 이는 위의 $K_\perp$ 논리와 정확히 같다 — 셀 경계를 가로지르는 흐름은 직렬 저항이다. TPFA의 함정은 **격자가 $\mathbf{K}$ 의 주축에 정렬되어 있어야만 정합적(consistent)**이라는 것. 비주축 성분이 큰 이방성 매질이나 뒤틀린 격자에서 TPFA를 쓰면 격자를 아무리 조여도 틀린 답으로 수렴한다. 이걸 고치려고 여러 점을 쓰는 것이 MPFA 계열이고, 대신 행렬의 M-성질이 깨져 단조성(음의 농도 방지)을 잃을 수 있다. 보존성·정합성·단조성 셋을 동시에 갖는 일반 격자용 도식은 아직 공짜가 아니다.⁴

10. 관련 문서[편집]

• 다공성 매질 유동 · 리처즈 방정식 · 그린-암프트 모형
• 수리전도도 · MODFLOW · 혼합유한요소법
• 스토크스 유동 · 라플라스 방정식 · 대류-확산 방정식
• 유한체적법 · 유한요소법 · 희소행렬 · 다중격자법
• 달시-바이스바흐 식 · 레이놀즈수
• 다상유동 · 격자 볼츠만 방법
• 역문제 · 불확실성 정량화 · 검증 및 확인

11. Footnotes[편집]

1. 이름 표기가 하나가 아니다. 사람 이름 Darcy 는 프랑스어라 “다르시”로 적고, 같은 사람의 이름을 딴 관로 마찰 공식은 관행상 “달시-바이스바흐”로 굳었다. 어느 쪽도 틀린 게 아니라 그냥 국내 학계가 분야별로 다르게 정착시킨 것이다. 지하수 교과서에서 “달시 법칙”이라고 써 놔도 같은 사람 얘기다. ↩

2. 그래서 지하수 모델링의 실체는 ”$K$ 장(場)을 추정하는 역문제”에 가깝다. 관측 수위 몇 개로 수만 셀의 $K$ 를 되찾겠다는, 대놓고 불량조건(ill-posed)인 문제라 지오통계적 사전분포와 정칙화를 잔뜩 얹는다. 그리고 결국 보고서에는 “보정된 $K$ 값이 문헌 범위 안에 있음”이라는 문장이 들어간다. 13자리 범위 안에 안 들어가는 게 더 어렵다. ↩

3. 그래서 논문에서 "$K=3\times10^{-5}\,\mathrm{m/s}$" 라는 문장을 만나면 반드시 어떤 시험으로 얼마만 한 부피에서 잰 값인가를 확인해야 한다. 같은 지층에서 코어 시험과 양수시험이 한 자릿수 이상 벌어지는 것은 이상 현상이 아니라 기본값이다. 파쇄암에서는 두세 자릿수도 나온다. 둘 중 하나가 틀린 게 아니라, 둘이 서로 다른 질문에 답한 것이다. ↩

4. 이 삼중고는 이산 최대값 원리와 관련된 구조적 제약이라 “더 똑똑한 도식”으로 완전히 우회되지는 않는다. 비선형 단조 유한체적법이나 혼성 고차 방법 같은 우회로가 계속 나오고 있고, 실무 코드는 그냥 격자를 이방성 주축에 맞춰 깔고 문제를 회피하는 쪽을 택하는 일이 훨씬 많다. 격자가 다 했다. ↩