수리전도도

유체역학 전산유체역학 시뮬레이션 마지막 수정: 2026-08-28 04:16:28

1. 개요[편집]

수리전도도 Hydraulic conductivity
기호·단위	K [m/s] (텐서일 때 K_ij)
정의	q = −K ∇h (다르시 법칙의 비례상수)
물성 분해	K = kρg/μ — 매질(k) × 유체(ρ, μ)
실측 범위	약 10⁰ ~ 10⁻¹³ m/s (13자리)
환산 국룰	K ≈ 10⁻⁵ m/s ↔ k ≈ 1 darcy
이방성	대칭 양정치 텐서 · 성층에서 K_∥ ≥ K_⊥
불포화	K(θ) = K_sk_r(S_e) — 반 헤누흐텐-무알렘 등

지하수 모델에서 격자를 두 배로 조이는 노력보다, 이 숫자의 자릿수를 반 칸 좁히는 시추가 언제나 더 값지다.

수리전도도(hydraulic conductivity)는 다공성 매질이 어떤 유체를 얼마나 잘 통과시키는가를 나타내는 계수로, 다르시 법칙 $\mathbf{q}=-\mathbf{K}\nabla h$ 에서 다르시 플럭스와 수두 구배를 잇는 비례상수다. 단위는 속도와 같은 $\mathrm{m/s}$ 인데, 이것은 “수두 구배가 1일 때의 겉보기 유속”이라는 뜻이지 물 알갱이가 실제로 그 속도로 간다는 뜻이 아니다. 실제 공극 안의 평균 유속(공극 유속)은 $v=q/n_e$ 로, 유효공극률 $n_e$ 만큼 더 빠르다.

이 문서는 $K$ 라는 물성 자체를 다룬다. 다르시 법칙의 유도·이산화·적용 한계는 다르시 법칙에, 불포화대의 지배방정식은 리처즈 방정식에 있다. 여기서는 $K$ 가 무엇으로 이루어져 있고, 어떻게 추정·측정되며, 왜 수치 모형에서 가장 불확실한 입력이 되는지를 본다.¹

2. K = kρg/μ — 매질과 유체를 가르는 한 줄[편집]

다르시가 잰 것은 물의 $K$ 하나였지만, 압력항과 중력항을 분리해 일반형으로 쓰면 매질의 몫과 유체의 몫이 깨끗하게 갈린다.

\mathbf{q}=-\frac{\mathbf{k}}{\mu}\left(\nabla p-\rho\mathbf{g}\right) \qquad\Longleftrightarrow\qquad \mathbf{K}=\frac{\rho g}{\mu}\,\mathbf{k}

$\mathbf{k}$ — 고유투과도(intrinsic permeability), 단위 $\mathrm{m^2}$ . 공극 기하만의 함수다. 유체를 바꿔도 안 변한다.
$\mathbf{K}$ — 수리전도도, 단위 $\mathrm{m/s}$ . 여기에 유체의 밀도·점성과 중력가속도가 얹혀 있다.

$\rho g/\mu$ 는 유체 하나가 통째로 짊어지는 인자다. 20 °C 물이면 $\rho g/\mu \approx 9.8\times10^{6}\ \mathrm{m^{-1}s^{-1}}$ 이므로

k\,[\mathrm{m^2}]\approx1.0\times10^{-7}\,K\,[\mathrm{m/s}], \qquad k\,[\mathrm{mD}]\approx10^{8}\,K\,[\mathrm{m/s}]

가 된다. 여기서 지하수 하는 사람과 석유 하는 사람이 서로 통역할 때 쓰는 국룰이 나온다 — $K=10^{-5}\,\mathrm{m/s}$ 는 대략 1 darcy다. 조립 모래층 하나가 저류층 공학자에게는 “괜찮은 1 D짜리 사암”으로 보인다는 뜻이다.²

온도가 유량을 바꾼다. $K\propto\rho/\mu$ 이고 물의 점성은 온도에 꽤 민감하다. 20 °C를 1.00으로 잡고 정규화하면:

수온 (°C)	μ (mPa·s)	ρ (kg/m³)	상대 K
0	1.792	999.8	0.56
10	1.307	999.7	0.77
20	1.002	998.2	1.00
25	0.890	997.0	1.12
40	0.653	992.2	1.53

즉 같은 지층이라도 겨울 지하수는 여름 지하수의 절반 조금 넘게밖에 안 흐른다. 지열 시스템, 온배수 주입, 심부 저류층에서 등온 가정을 못 쓰는 이유이며, 실내 투수시험 결과를 표준 온도(보통 20 °C 또는 15 °C)로 환산해서 보고해야 하는 이유이기도 하다.

유체를 바꾸면 더 크게 바뀐다. 같은 매질에 물 대신 공기를 통과시키면 $\rho g/\mu$ 가 $6.5\times10^{5}$ 정도로 떨어져 $K$ 가 약 15분의 1이 된다. 밀도가 800배 작은데 점성도 55배 작아서 상당 부분 상쇄된 결과다. 토양 통기대의 공기 투과도 시험이나 진공추출 정화(SVE) 설계가 이 계산 위에 있다.

3. 13자리의 세계[편집]

$K$ 의 실측 범위는 공학에서 좀처럼 보기 힘든 스케일이다.

매질	K (m/s)	k (m²)	k (mD)
자갈	10⁻³ ~ 10⁰	10⁻¹⁰ ~ 10⁻⁷	10⁵ ~ 10⁸
조립·청결 모래	10⁻⁵ ~ 10⁻²	10⁻¹² ~ 10⁻⁹	10³ ~ 10⁶
세립·실트질 모래	10⁻⁷ ~ 10⁻⁴	10⁻¹⁴ ~ 10⁻¹¹	10 ~ 10⁴
실트, 뢰스	10⁻⁹ ~ 10⁻⁵	10⁻¹⁶ ~ 10⁻¹²	10⁻¹ ~ 10³
빙력토	10⁻¹² ~ 10⁻⁶	10⁻¹⁹ ~ 10⁻¹³	10⁻⁴ ~ 10²
해성 점토(비풍화)	10⁻¹³ ~ 10⁻⁹	10⁻²⁰ ~ 10⁻¹⁶	10⁻⁵ ~ 10⁻¹
카르스트 석회암	10⁻⁶ ~ 10⁻²	10⁻¹³ ~ 10⁻⁹	10² ~ 10⁶
균열 화성암	10⁻⁸ ~ 10⁻⁴	10⁻¹⁵ ~ 10⁻¹¹	1 ~ 10⁴
신선한 화성·변성암	10⁻¹³ ~ 10⁻¹⁰	10⁻²⁰ ~ 10⁻¹⁷	10⁻⁵ ~ 10⁻²

읽는 법이 두 가지 있다. 첫째, 자갈과 점토 사이가 13자리다. 물성 하나가 이 정도로 벌어지는 분야는 흔치 않고, 그래서 지하수 문제에서는 “값”이 아니라 “자릿수”를 먼저 맞춘다. 둘째, 한 재질 안에서도 범위가 3~6자리다. 빙력토는 그 자체로 6자리를 덮는다. 즉 “이 지층은 실트질 모래입니다”라는 지질주상도 문장은 $K$ 를 세 자릿수 이내로 좁혀 주지 못한다.

여기서 나오는 실무 규칙 하나. 표에서 고른 값을 그대로 모델에 넣으면 안 된다. 표는 사전분포의 폭이지 값이 아니다.

4. 입도에서 K를 추정하기[편집]

시료는 있는데 투수시험을 못 하는 상황(오래된 시추 자료, 입도분석만 있는 경우)에서 쓰는 경험식들이 있다.

하젠 공식(Hazen, 1892)이 가장 유명하다. 정수용 모래여과지를 설계하려고 만든 식이라 태생부터 다르시와 같은 동네다.

K\,[\mathrm{cm/s}]\approx C\,d_{10}^2,\qquad d_{10}\ \text{단위 cm},\ C\approx100

$d_{10}$ 은 통과중량 10%에 해당하는 입경(유효입경)이다. 적용 범위가 명확히 좁다 — $d_{10}$ 이 0.1~3 mm 사이의 균등한(균등계수 $C_u=d_{60}/d_{10}<5$ ) 청결 모래. 이 범위를 벗어나면 급격히 무너지고, 계수 $C$ 자체가 문헌마다 1에서 1000까지 두 자릿수 넘게 흩어져 있다.³

코제니-카르만 식은 좀 더 물리적이다. 공극을 모세관 다발로 보고 하겐-푸아죄유를 적분한 결과로,

k=\frac{\phi^3\,d^2}{180\,(1-\phi)^2} \qquad\text{또는}\qquad k=\frac{\phi^3}{c\,S_0^2(1-\phi)^2}

$\phi$ 는 공극률, $d$ 는 대표 입경, $S_0$ 는 고체 단위부피당 비표면적, $c\approx5$ 는 굴곡도·형상을 뭉뚱그린 계수다. 여기서 읽어야 할 것은 상수가 아니라 의존성이다.

$k\propto d^2$ — 입경이 두 배면 투과도는 네 배. $K$ 의 자릿수를 지배하는 것은 결국 입경이다.
$k\propto\phi^3/(1-\phi)^2$ — 공극률의 영향은 입경보다 약하지만 비선형이 세다. 공극률 0.4에서 0.3으로 다지면 $k$ 가 약 1/3로 떨어진다.
$S_0$ 가 분모의 제곱으로 들어간다 — 비표면적이 큰 물질은 전도도가 폭락한다.

마지막 항목이 점토에서 이 식이 통하지 않는 이유를 설명한다. 점토는 공극률이 0.5를 넘어 모래보다 큰데도 $K$ 는 여섯 자리 이상 작다. 판상 광물의 비표면적이 압도적으로 크고, 표면에 흡착된 물층이 유효 공극을 더 좁히기 때문이다. 점토에서는 공극률과 $K$ 의 상관이 사실상 없다 — 이 사실 하나가 “공극률이 크니까 물이 잘 통하겠지”라는 직관을 깨끗하게 부순다. 점토의 $K$ 는 공극비와 로그선형( $\log K$ 대 $e$ )으로 맞추는 압밀 계열 상관식을 따로 쓴다.

5. 텐서, 그리고 층상 매질의 두 평균[편집]

퇴적층은 층리를 따라 잘 흐르고 가로질러서는 못 흐르므로 $\mathbf{K}$ 는 스칼라가 아니라 대칭 양정치 텐서다(균질화 유도에서 따라 나오는 성질 — 다르시 법칙 참조). 양정치라는 것은 $\mathbf{q}\cdot\nabla h<0$ , 즉 흐름이 언제나 수두를 내리는 방향으로 에너지를 소산한다는 뜻이고, 대칭이라는 것은 직교하는 주축이 존재한다는 뜻이다. 대부분의 모델이 격자를 층리 방향에 맞춰 깔고 $\mathbf{K}=\mathrm{diag}(K_x,K_y,K_z)$ 로 쓰는 것은 이 주축 정렬을 이용한 것이다.

두께 $b_i$ , 전도도 $K_i$ 인 층이 쌓여 있을 때 등가 전도도는 방향에 따라 평균의 종류가 달라진다.

K_\parallel=\frac{\sum b_iK_i}{\sum b_i}\ (\text{산술}), \qquad K_\perp=\frac{\sum b_i}{\sum b_i/K_i}\ (\text{조화})

층 방향 흐름은 병렬 저항이라 제일 잘 통하는 층이, 층을 가로지르는 흐름은 직렬 저항이라 제일 안 통하는 층이 지배한다. 산술-기하-조화 평균 부등식에 의해 항상

K_\perp \le K_G \le K_\parallel

이므로 성층 매질의 이방성비 $K_\parallel/K_\perp$ 는 구조적으로 1 이상이고, 등호는 모든 층이 같을 때만 성립한다. 즉 층이 존재한다는 사실만으로 이방성이 발생한다. 실무에서 자료가 없을 때 $K_h/K_v=10$ 을 관행적으로 넣는데, 이 숫자의 출처는 사실 뚜렷하지 않다. 실측 범위는 5에서 50 정도가 흔하고 얇은 점토 협재층이 있으면 100을 넘기도 한다.⁴

무작위 불균질 매질에 대한 결과도 하나 알아 둘 만하다. $Y=\ln K$ 가 평균 $\langle Y\rangle$ , 분산 $\sigma_Y^2$ 인 정규장이고 통계적으로 등방이라면, 소섭동 이론이 주는 유효 전도도는 차원에 따라 갈린다.

K_{\mathrm{eff}}=K_G\exp\!\left[\sigma_Y^2\left(\tfrac12-\tfrac1d\right)\right], \qquad K_G=e^{\langle Y\rangle}

$d=1$ 이면 조화평균, $d=2$ 이면 정확히 기하평균(마트롱, 1967), $d=3$ 이면 기하평균보다 약간 크다. 1차원에서는 병목이 전부를 지배하지만 차원이 올라갈수록 흐름이 저투수 구역을 우회할 수 있기 때문이다. 그래서 지하수 모델러가 불균질장의 대푯값으로 산술평균이 아니라 기하평균을 드는 것은 취향이 아니라 이 결과 때문이다.

6. 불포화 K(θ) — 표 전체보다 넓은 범위[편집]

공극이 물로 가득 찼을 때의 $K_s$ 는 상수지만, 공기가 섞이면 물이 지나갈 통로가 줄어 전도도가 함수량의 함수가 된다.

K(\theta)=K_s\,k_r(S_e),\qquad S_e=\frac{\theta-\theta_r}{\theta_s-\theta_r}

$k_r$ 은 0에서 1 사이의 상대투수도이고, 반 헤누흐텐-무알렘이나 브룩스-코리 같은 닫힌 형태로 준다(구체적인 함수형과 그 수치적 함정은 리처즈 방정식에 있다). 여기서 중요한 것은 형태보다 폭이다.

포화에서 위조점 부근까지 내려가면 $k_r$ 이 $10^{-6}$ 에서 $10^{-10}$ 까지 떨어진다. 즉 같은 흙 하나가 함수량에 따라 앞서 본 “13자리 표” 전체에 맞먹는 범위를 홀로 훑는다. 이 사실이 불포화 유동 해석을 어렵게 만드는 근본 원인이다 — 방정식이 강한 비선형인 정도가 아니라, 계수가 여섯~열 자리를 오가는 비선형이다. 절점 사이 $K$ 를 산술평균으로 잡느냐 기하·상류가중으로 잡느냐가 습윤전선 속도를 눈에 띄게 바꾸는 것도 그래서다.

덧붙여, $\theta(h)$ 관계에는 이력(히스테리시스)이 크게 나타나지만 $K(\theta)$ 는 상대적으로 이력이 약하다. 그래서 이력 모형을 넣을 때도 보유곡선만 갈아 끼우고 $K(\theta)$ 는 단일 곡선을 쓰는 것이 표준이다.

7. 어떻게 재는가 — 그리고 지지체적 문제[편집]

시험 방법은 지지체적(support volume), 즉 그 값 하나가 평균한 부피의 크기 순으로 늘어선다. 개별 시험의 계산식은 다르시 법칙에 있고, 여기서는 무엇을 재는지와 무엇이 틀어지는지를 본다.

방법	지지체적	대상·비고
실내 정수두 투수시험	시료 하나 (수백 cm³)	모래·자갈. ASTM D2434 계열
실내 변수두·연성벽 투수기	시료 하나	실트·점토. 배압포화 필수
원위치 침투계(정수두 보어홀)	수십 cm 규모	불포화대 현장 K, 통기대 조사
슬러그 시험	관정 주변 수 m	흐보슬레브·바우어-라이스 해석
양수시험	반경 수십~수백 m	타이스·쿠퍼-제이콥. T = Kb 를 얻음
추적자 시험	관정 사이 유로	유효공극률·분산도까지 함께
모델 보정(역해석)	모델 영역 전체	사실상 유효 K 를 정의하는 행위

실내 시험이 조용히 틀리는 경로는 정해져 있다. 측벽 누수(시료와 통 벽 사이로 물이 새면 $K$ 가 과대평가된다), 시료 교란, 탈기하지 않은 물의 공기방울 폐색, 그리고 실험을 빨리 끝내려고 구배를 크게 거는 바람에 공극 레이놀즈수가 1을 넘거나 세립분이 이동해 버리는 경우. 점토에서 강성벽 통을 쓰면 측벽 누수가 시료를 통과한 유량보다 커지는 일이 실제로 벌어지므로 연성벽 투수기를 쓴다.

현장 시험은 시험대로 편향이 있다. 슬러그 시험은 시추 과정에서 생긴 관정 주변 교란대(스킨)의 영향을 크게 받아 대체로 $K$ 를 낮게 잡고, 양수시험은 반경이 커지면서 고투수 렌즈나 균열을 표본에 포함시켜 높게 잡는다.

그 결과가 이 분야의 유명한 골칫거리다 — $K$ 는 잰 부피에 따라 계통적으로 커진다. 코어 < 슬러그 < 양수시험 < 모델 보정 순으로 값이 올라가는 경향이 파쇄 매질에서는 두세 자릿수까지 벌어진다. 둘 중 하나가 틀린 게 아니라 서로 다른 질문에 답한 것인데, 실무에서 문제가 되는 것은 모델 셀 크기에 맞는 지지체적의 값을 쓰지 않았을 때다. 100 m 격자 모델에 코어 시험값을 넣으면 유량이 계통적으로 과소평가된다.

8. 수치 모형에서 — 가장 불확실한 입력[편집]

지하수 유동방정식 $S_s\,\partial h/\partial t=\nabla\cdot(\mathbf{K}\nabla h)+W$ 를 유한체적법이나 유한요소법으로 이산화하는 일 자체는 표준화된 지 오래다. 남는 노동은 전부 $\mathbf{K}$ 쪽에 있다.

셀 값으로의 업스케일링. 셀 경계를 가로지르는 흐름은 직렬 저항이므로 2점 플럭스 근사(TPFA)의 면 투수량은 조화평균으로 잡는다.

T_{ij}=\frac{|\sigma_{ij}|}{d_i/K_i+d_j/K_j}

이것은 앞의 $K_\perp$ 논리와 정확히 같은 식이며, 동시에 평균 방식의 선택이 곧 물리적 가정이라는 사실을 드러낸다. 층상 구조가 셀 내부에 통째로 들어가 있으면 방향별로 다른 평균이 필요하고, 그래서 실무 코드는 세밀 격자에서 국소 유동 문제를 풀어 등가 텐서를 뽑는 유동 기반 업스케일링을 쓴다.

역해석. 관측 수두 몇십 개로 수만 셀의 $\mathbf{K}$ 장을 되찾는 문제는 대놓고 불량조건(ill-posed)이다. 미지수가 자료보다 압도적으로 많고, 수두는 $K$ 를 적분해 매끄럽게 만든 양이라 정보량이 적다. 여기에 잘 알려진 구조적 한계가 하나 더 있다 — 경계조건이 전부 수두로 주어지고 유량 관측이 하나도 없으면, 정상류 수두장은 $K$ 를 상수배까지밖에 결정하지 못한다. $\mathbf{K}\to c\mathbf{K}$ 로 통째로 키워도 $\nabla\cdot(c\mathbf{K}\nabla h)=0$ 은 같은 $h$ 를 준다. 그래서 양수량, 하천 기저유출, 함양량 중 최소한 하나의 유량이 자료에 들어가야 $K$ 의 절대 크기가 고정된다. 이걸 모르고 수두만으로 보정한 모델은 수위는 완벽하게 맞추면서 오염물 도달 시간을 몇 배씩 틀린다.

실무 도구의 골격은 대체로 이렇다.

파일럿 포인트. 셀마다 $K$ 를 미지수로 두는 대신 수십 개의 대표점만 조정하고 나머지는 크리깅으로 보간한다. 미지수를 줄이면서 공간 연속성을 유지하는 절충.
정칙화. 티코노프 정칙화나 사전분포로 “사전 추정치에서 크게 벗어나지 마라 / 부드럽게 변해라”는 벌점을 건다. 정칙화 없이 돌린 역해석은 관측점 주변에만 $K$ 가 튀는 얼룩무늬 장을 만든다.
자료동화. 앙상블 칼만 필터 계열(EnKF, ES-MDA)로 실현 앙상블을 순차 갱신하면 불확실성 자체가 결과로 딸려 나온다.
민감도. 수반(adjoint) 해석으로 $\partial h/\partial K$ 를 싸게 얻어 가우스-뉴턴법 계열에 태운다. 자세한 구조는 역문제 문서 참조.

조건부 시뮬레이션. 여기서 크리깅과 지오통계 시뮬레이션의 차이가 실질적인 결과 차이를 만든다. 크리깅은 조건부 기댓값을 주므로 부드럽고 분산이 과소평가된 장을 만든다. 그런데 오염물 도달 시간을 지배하는 것은 평균 $K$ 가 아니라 연결된 고투수 경로다. 매끄러운 크리깅 장에는 그 경로가 존재하지 않으므로, 그 장 하나로 계산한 도달 시간은 계통적으로 늦게 나온다. 그래서 실무는 자료를 재현하면서 배리오그램(또는 훈련 이미지)도 재현하는 실현들을 여러 개 만들어 앙상블로 돌린다. 순차 가우스 시뮬레이션(SGS)이나 다점 지오통계가 그것이고, 산출물은 “도달 시간 = 12년”이 아니라 “5년 안에 도달할 확률 30%“가 된다.

결론은 이 바닥의 오래된 문장으로 요약된다. 지하수 모델링은 흐름을 푸는 일이 아니라 $\mathbf{K}$ 를 추정하는 일이다. 수치 도식의 차수를 올리는 것보다 시추공 하나를 더 뚫는 쪽이 예측 오차를 줄이는 데 유리한 상황이 기본값이며, 이는 불확실성 정량화와 검증 및 확인이 이 분야에서 유난히 강조되는 이유이기도 하다.

9. 관련 문서[편집]

용어가 분야마다 어긋나서 초보자를 한 번씩 넘어뜨린다. 국내 토질역학은 같은 물리량을 투수계수라 부르고 $k\,[\mathrm{cm/s}]$ 로 쓰는데, 하필 기호가 지하수·석유 쪽의 고유투과도 $k\,[\mathrm{m^2}]$ 와 같다. 여기에 대수층 두께를 곱한 투수량계수 $T=Kb\,[\mathrm{m^2/s}]$ 까지 끼면 $\mathrm{m^2}$ 짜리 양이 둘이 된다. 문헌을 읽을 때 기호를 믿지 말고 단위를 봐라. $\mathrm{m/s}$ 면 수리전도도, $\mathrm{m^2}$ 이면 투과도이거나 투수량계수인데 후자 둘은 다시 $\mathrm{m^2}$ 와 $\mathrm{m^2/s}$ 로 갈린다. ↩
darcy 라는 단위 자체가 재미있다. 1 darcy 는 “점성 1 cP 인 유체가 1 atm/cm 구배에서 1 cm/s 로 흐르는 매질”로 정의되어 SI가 아니라 CGS + 대기압으로 짜여 있고, 그래서 $1\,\mathrm{D}=9.869\times10^{-13}\,\mathrm{m^2}$ 라는 어중간한 값이 나온다. 9.869는 $10^{-6}\times$ 대기압을 $\mathrm{dyn/cm^2}$ 로 쓴 흔적이다. 석유공학이 이 단위를 놓지 않는 이유는 실무 저류층이 대체로 1~1000 mD 라서 숫자가 예뻐지기 때문이고, 그건 사실 꽤 좋은 이유다. ↩
계수가 두 자릿수 흩어진다는 말은 이 식이 $K$ 를 자릿수 하나 이내로도 못 좁힌다는 뜻이다. 그럼에도 여전히 쓰이는 이유는, 아무것도 없는 것보다는 낫고 입도분석이 투수시험보다 훨씬 싸기 때문이다. 다만 보고서에 “하젠 공식으로 산정한 $K=2.4\times10^{-4}\,\mathrm{m/s}$ ” 라고 유효숫자 두 자리로 적혀 있으면 그 두 자리는 장식이다. ↩
$K_h/K_v=10$ 은 교과서·모델 기본값·심의 관행을 타고 굳은 숫자에 가깝다. 무서운 점은 이 값이 오염물의 연직 이동을 직접 지배한다는 것 — 차수층 아래로 언제 새는지, 심부 관정이 얕은 오염을 언제 끌어오는지가 여기 달렸다. 자료 없이 10을 쓰는 것 자체는 죄가 아니지만, 민감도 해석에서 이 값을 3과 100으로 흔들어 보지 않은 보고서는 죄가 맞다. ↩