비오-사바르 법칙

1. 개요[편집]

비오-사바르 법칙 Biot–Savart Law
대상	정상 전류가 만드는 정자기장
핵심 형태	dB = (μ0/4π) I dl × r̂ / r²
동치 미분형	∇×B = μ0J (앙페르 법칙) + ∇·B = 0
수치적 성격	약특이(weakly singular) 적분, 조밀 행렬
유체역학 대응	와도 → 유도속도 (보텍스 방법)
안 되는 것	시변장, 자성체 내부(비선형 μ)

전류 한 조각이 저 멀리 한 점에 얼마나 기여하는가. 이 질문 하나를 끝까지 밀고 나가면 자기장 계산의 절반이 끝난다.

비오-사바르 법칙은 정상 전류가 주변 공간에 만드는 자기장을, 전류 요소 하나하나의 기여를 더해서 얻는 적분 법칙이다. 전류 $I$ 가 흐르는 도선의 미소 요소 $d\mathbf{l}$ 이 그로부터 $\mathbf{r}$ 만큼 떨어진 점에 만드는 자속밀도는

$$d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\, \frac{I\, d\mathbf{l} \times \hat{\mathbf{r}}}{r^2}$$

이고, 전체 자기장은 도선 전체(또는 전류가 흐르는 모든 부피)에 대해 이것을 적분한 값이다. 부피 전류밀도 $\mathbf{J}$ 로 쓰면

$$\mathbf{B}(\mathbf{x}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}') \times (\mathbf{x}-\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^3}\, d^3x'$$

구조를 보면 쿨롱 법칙과 형제간이다. 거리 제곱에 반비례하고, 원천의 세기에 비례하며, 무한 영역의 원방 조건이 적분핵 안에 이미 구워져 있다. 다른 점은 외적 하나뿐인데, 그 외적 때문에 자기장이 전류를 감아 도는 모양이 나오고 스칼라 퍼텐셜을 못 쓰게 된다.

이름은 19세기 초 프랑스의 장바티스트 비오와 펠릭스 사바르에게서 왔다. 전류가 흐르는 도선 옆의 나침반 바늘이 받는 힘을 재서 거리 의존성을 알아낸 실험이 출발점이었다.¹

2. 앙페르 법칙과의 관계 — 왜 대칭이 있으면 적분형이 이기는가[편집]

비오-사바르 적분에 회전(curl)을 취하면 맥스웰 방정식의 정자기 버전이 그대로 나온다.

$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$

즉 비오-사바르는 앙페르 법칙(정상 상태)의 적분해다. 스토크스 정리를 걸면 익숙한 적분형 $\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$ 가 나온다.

두 형태의 실무적 관계는 이렇게 정리된다.

• 대칭이 충분하면 앙페르가 압도적으로 싸다. 무한 직선 도선, 무한 솔레노이드, 토로이드처럼 $|\mathbf{B}|$ 가 적분 경로 위에서 상수이고 방향도 아는 경우, 앙페르 적분은 곱셈 한 번으로 끝난다. 무한 직선의 $B = \mu_0 I / 2\pi d$ 를 비오-사바르로 유도하려면 삼각치환 적분을 해야 하는데, 앙페르로는 세 줄이다.
• 대칭이 없으면 앙페르는 아무것도 주지 않는다. 유한 길이 도선이나 임의 형상 코일에서는 $\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}$ 이 여전히 참이지만 $\mathbf{B}$ 를 적분 밖으로 빼낼 수 없어 미지수 하나를 못 뽑는다. 이때는 비오-사바르 적분을 직접 계산하는 수밖에 없다.

한 가지 함정. 비오-사바르는 정상 전류($\nabla\cdot\mathbf{J}=0$)에 대해서만 성립한다. 전류가 시간에 따라 변하면 변위전류 항이 살아나고, 정확한 답은 지연 시간이 들어간 제피멘코 방정식이 준다. 준정적(magnetoquasistatic) 근사가 통하는 조건 — 소자 크기가 파장보다 훨씬 작을 것 — 아래에서만 비오-사바르를 시변 문제에 갖다 쓸 수 있고, 이 경계를 넘어가면 FDTD나 모멘트법 같은 전파 해석의 영역이다.

3. 대표적인 닫힌 해[편집]

수치해석 코드가 실제로 호출하는 것은 대개 아래 세 개다.

유한 직선 선분. 선분에서 수직거리 $d$ 만큼 떨어진 점에서, 선분 양 끝을 바라보는 각을 수직선 기준으로 $\theta_1, \theta_2$ 라 하면

$$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d}\left(\sin\theta_2 - \sin\theta_1\right)$$

이다. $\theta_{1,2} \to \mp\pi/2$ 로 보내면 무한 직선의 $\mu_0 I/2\pi d$ 가 회수된다. 벡터 형태로 정리한 것이 와류격자법에서 영향계수를 만들 때 쓰는 바로 그 식이며, 닫힌 형태이므로 수치적분이 아예 필요 없다는 것이 실용적으로 결정적이다.

원형 루프의 축상. 반지름 $a$ 인 원형 코일 중심축 위 $z$ 지점에서

$$B_z(z) = \frac{\mu_0 I a^2}{2\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}$$

중심($z=0$)에서 $\mu_0 I/2a$ 다. 축을 벗어나면 완전타원적분이 나와 초등함수로 닫히지 않으므로, 축 밖 필드가 필요하면 결국 수치적분이나 선분 근사로 간다.

헬름홀츠 코일. 반지름 $a$ 인 동일한 두 코일을 간격도 정확히 $a$ 로 놓고 같은 방향 전류를 흘린 배치다. 대칭성에서 $B'(0)=0$ 은 자동이고, 간격을 $a$ 로 맞추는 순간 $B''(0)=0$ 까지 사라진다. 축 위 전개는

$$\frac{B_z(z)}{B_z(0)} = 1 - \frac{144}{125}\left(\frac{z}{a}\right)^{\!4} + \mathcal{O}\!\left(z^6\right)$$

이고, 중심 자속밀도는 코일당 감은수 $N$ 에 대해

$$B_z(0) = \left(\frac{4}{5}\right)^{3/2} \frac{\mu_0 N I}{a} \approx 0.7155\,\frac{\mu_0 N I}{a}$$

오차의 최저차가 4차라는 것이 이 배치의 전부다. 축 위 편차가 0.1% 안에 드는 범위가 $|z| \lesssim 0.17a$ 로 넓어지고, 그래서 자기 센서 교정·전자빔 편향 보정·원자물리 실험의 기준 자기장 발생기가 전부 이 배치를 쓴다. 균일도를 더 원하면 코일을 넷으로 늘려 6차 항까지 죽이는 배치(맥스웰 코일 계열)로 간다.

4. 벡터퍼텐셜 형태[편집]

$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$ 이므로 $\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}$ 인 자기 벡터퍼텐셜 $\mathbf{A}$ 가 항상 존재한다. 쿨롱 게이지 $\nabla\cdot\mathbf{A}=0$ 에서 $\mathbf{A}$ 의 각 데카르트 성분은 포아송 방정식을 만족하고,

$$\nabla^2 \mathbf{A} = -\mu_0 \mathbf{J} \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{A}(\mathbf{x}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\,d^3x'$$

이 된다. 여기에 회전을 취하면 비오-사바르가 되돌아 나온다. 적분핵이 $1/r^2$ 에서 $1/r$ 로 약해진다는 점이 수치적으로는 공짜 선물이다 — 특이성이 한 차수 약하고, 외적이 없어 각 성분이 독립적인 스칼라 그린 함수 문제로 분리된다. 그래서 자기장을 정확히 알 필요 없이 인덕턴스나 자속 쇄교만 필요하다면 $\mathbf{A}$ 로 계산하는 쪽이 거의 언제나 낫다.

먼 거리 전개도 $\mathbf{A}$ 쪽이 깔끔하다. 다중극 전개의 첫 항인 자기 홀극은 $\nabla\cdot\mathbf{B}=0$ 때문에 항상 0이고, 살아남는 최저차가 자기 쌍극자 항이다. 유한 크기 코일을 멀리서 보면 결국 자기 모멘트 $\mathbf{m} = I\!\int d\mathbf{a}$ 하나로 요약된다는 사실이 여기서 나온다.

5. 수치적으로는 특이 적분이다[편집]

비오-사바르를 코드로 옮길 때 진짜 난점은 적분핵이 $|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^{-2}$ 라는 것이다. 관측점이 전류가 흐르는 영역 위에 있거나 아주 가까이 있으면 피적분함수가 발산한다. 세 가지 처방이 공존한다.

• 선분 닫힌형. 도선을 직선 선분들의 사슬로 근사하면 위의 유한 선분 해가 정확한 적분값을 준다. 곡선 코일을 다각형으로 쪼개는 오차만 남고 구적 오차는 0이다. 다만 관측점이 선분에 접근하면 $1/d$ 로 발산하므로, 실무 코드는 도체 반경 $r_c$ 이내에서 필드를 잘라내거나 유한 단면(균일 전류밀도 원기둥)의 해석해로 바꿔 낀다.
• 가우스 구적. 곡선 필라멘트나 곡면 전류에서 선분 근사가 부족하면 매개변수 곡선 위에서 직접 구적한다. 특이성이 없는 원방에서는 저차 구적으로도 기계 정밀도에 붙지만, 관측점이 원천에 가까워질수록 필요한 구적점 수가 폭증한다. 원천-관측 거리와 요소 크기의 비를 보고 구적 차수를 올리는 적응 전략이 표준이다.
• 특이성 분리. 피적분함수에서 해석적으로 적분 가능한 특이 부분을 빼내 닫힌형으로 계산하고, 남은 정칙 부분만 수치적분한다. 경계요소법 계열이 오래전부터 쓰던 기법이 그대로 이식된다.

비용 구조도 짚어야 한다. 원천 요소 $N$ 개가 관측점 $M$ 개에 만드는 필드를 직접 더하면 $O(NM)$ 이다. 코일 하나의 필드를 뽑는 정도면 노트북으로 충분하지만, 자기 상호작용(인덕턴스 행렬, 코일 간 힘)이나 시간 전진이 끼면 $O(N^2)$ 이 즉시 벽이 된다. 탈출구는 N체 문제에서 쓰던 것과 완전히 동일하다 — 트리코드(반스-헛 알고리즘)나 고속 다중극자법으로 $O(N\log N)$·$O(N)$ 까지 내린다. 커널이 $1/r$ 계열이라는 것만 같으면 알고리즘은 그대로 재사용된다.

6. 유한요소(A 정식화) 대 적분법[편집]

자기장 해석 코드가 두 갈래로 갈리는 지점이 여기다.

	비오-사바르 / 적분법	유한요소 A 정식화
이산화 대상	전류가 흐르는 도체만	도체 + 자성체 + 주변 공기 전부
무한 영역	커널에 이미 포함, 근사 없음	인공 경계·무한요소·완전정합층 필요
행렬	조밀, 하지만 미지수 적음	희소, 하지만 미지수 많음
비선형 강자성체	자화 전류를 미지수로 다시 세워야 함	$\mu(B)$ 를 그대로 넣고 뉴턴 반복
와전류·시변	별도 정식화 필요	$\mathbf{A}$-$\phi$ 정식화로 자연스럽게 확장

요약하면 철심이 없으면 적분법, 철심이 있으면 유한요소다. 공심 코일·초전도 자석·토카막 폴로이달 자장 코일처럼 매질이 전부 진공에 가까운 문제에서는 도체만 이산화하면 되니 미지수가 몇 천 개로 끝나고, 필드 계산점을 원하는 곳에만 찍을 수 있다는 자유가 크다. 반대로 모터·변압기처럼 $\mu_r$ 이 수천이고 포화가 걸리는 문제에서는 자성체 안의 자화 분포 자체가 미지수라 유한요소 전자기의 모서리 요소 정식화가 사실상 유일한 선택이다.

현실적인 절충안이 널리 쓰인다. 코일이 만드는 원천장은 비오-사바르로 해석적으로 계산해 넣고, 유한요소는 자성체가 만드는 반응장만 푸는 분리 방식이다(감소 스칼라 퍼텐셜·$\mathbf{H}_s$ 분해 계열). 코일을 격자로 채울 필요가 없어져 격자 생성 부담이 크게 줄고, 얇은 도선 코일에서 흔한 격자 품질 문제가 통째로 사라진다.

7. 유체역학의 동형 — 와도가 전류다[편집]

정자기학과 비압축성 와도 동역학은 수학적으로 같은 문제다. 대응은 다음과 같다.

정자기학	유체역학
전류밀도 $\mathbf{J}$	와도 $\boldsymbol{\omega}$
자속밀도 $\mathbf{B}$	속도 $\mathbf{u}$
벡터퍼텐셜 $\mathbf{A}$	유동함수 벡터 $\boldsymbol{\psi}$
$\nabla\cdot\mathbf{J}=0$	$\nabla\cdot\boldsymbol{\omega}=0$

$\nabla^2\boldsymbol{\psi} = -\boldsymbol{\omega}$ 를 무한 영역에서 풀면 유도속도가 비오-사바르와 같은 꼴로 나온다. 그래서 유체 쪽 문헌도 이 적분을 그냥 “비오-사바르 법칙”이라 부른다. 세기 $\Gamma$ 인 직선 와선이 거리 $d$ 에 만드는 유도속도가 $\Gamma/2\pi d$ 인 것은 무한 직선 전류의 $\mu_0 I/2\pi d$ 와 글자만 바뀐 것이다.

같은 대응이 특이성 처리에도 그대로 옮겨진다. 유체 쪽의 표준 처방인 랭킨 소용돌이 코어 모형 — 반지름 $r_c$ 안에서는 강체 회전($u_\theta \propto r$), 밖에서는 $\Gamma/2\pi r$ — 은 전자기 쪽에서 도선을 유한 단면 원기둥으로 바꾸는 것과 정확히 같은 발상이다.² 실제 계산 기법도 두 분야가 서로 베낀다.

• 와류격자법·양력선 이론 — 유한 선분 닫힌형 해로 영향계수 행렬을 조립한다.
• 보텍스 방법 — 와류 입자·필라멘트 사이의 비오-사바르 직접합. 특이성을 매끄러운 블롭으로 정칙화하고, $O(N^2)$ 을 트리코드로 회피한다.
• 패널법 — 물체 표면의 소스·와류 분포로 무침투 조건을 맞추는 경계적분 기법.

전자기 하는 사람과 공력 하는 사람이 같은 세미나에서 같은 알고리즘 이야기를 하고 있는데 서로 다른 단어를 쓰는 광경이 이 바닥에서 드물지 않은 이유다.

8. 흔한 오해[편집]

• “비오-사바르로 자성체 안의 자기장을 구할 수 있다.” 못 한다. 위 적분은 자유전류만 원천으로 본다. 자성체가 있으면 자화 전류 $\mathbf{J}_m = \nabla\times\mathbf{M}$ 이 추가 원천으로 들어가는데, $\mathbf{M}$ 은 $\mathbf{B}$ 에 의존하므로 문제가 자기무모순(self-consistent)이 되어 반복이 필요하다. 비선형 포화까지 걸리면 유한요소로 가는 게 정답이다.
• ”$d\mathbf{B}$ 자체가 물리적으로 측정 가능하다.” 아니다. 고립된 전류 요소는 전하 보존을 위배해서 존재할 수 없다. 물리적 의미는 닫힌 회로 전체에 대해 적분한 결과에만 있고, 적분 전의 $d\mathbf{B}$ 는 편의상의 분해다.³
• “코일을 잘게 쪼갤수록 정확해진다.” 방향은 맞지만 공짜가 아니다. 선분 수를 늘리면 형상 오차는 줄지만 관측점이 선분에 가까울 때의 $1/d$ 발산은 그대로 남고, 오히려 이웃 선분 기여의 상쇄에서 자릿수 소실이 생긴다. 필드를 도체 표면 근처에서 뽑아야 한다면 유한 단면 해석해로 갈아타는 것이 정석이다.

9. 관련 문서[편집]

• 맥스웰 방정식 · 앙페르 법칙 · 전자기해석 · 전자기학
• 자기 벡터퍼텐셜 · 헬름홀츠 코일 · 인덕턴스
• 유한요소 전자기 · 경계요소법 · 모멘트법 · FDTD
• 포아송 방정식 · 라플라스 방정식 · 그린 함수 · 다중극 전개
• 수치적분 · 고속 다중극자법 · 반스-헛 알고리즘 · N체 문제
• 보텍스 방법 · 와류격자법 · 양력선 이론 · 패널법 · 와도
• 토카막 · 완전정합층

10. Footnotes[편집]

1. 비오와 사바르의 1820년 발표는 외르스테드가 전류의 자기 작용을 보고한 직후에 나왔다. 정작 이 관계를 오늘날의 미분 형태로 다듬은 것은 라플라스라는 이야기가 있어서, 프랑스 문헌에서는 “비오-사바르-라플라스 법칙”이라 부르는 경우가 있다. 세 명이 붙은 이름은 대개 아무도 만족하지 못한 타협의 산물이다. ↩

2. 랭킨 코어를 씌우면 코어 안의 속도장이 물리적으로 옳아서가 아니라 적분이 발산하지 않아서 쓰는 것이다. 실제 점성 와류의 코어는 램-오신 프로파일에 가깝고, 코어 반지름은 시간에 따라 $\sqrt{\nu t}$ 로 자란다. “일단 안 터지게 만들고 코어 반지름은 나중에 튜닝한다”가 현장의 국룰이지만, 유도속도가 $r_c$ 에 로그로 민감한 문제(필라멘트 자기유도)에서는 그 튜닝이 결과를 정한다. ↩

3. 그래서 학부 전자기학 시험에서 “무한 직선 전류의 한 조각이 만드는 자기장을 구하시오” 같은 문항은 엄밀히 말하면 존재하지 않는 것을 묻는 셈이다. 물론 답은 채점 기준표에 있다. ↩