빔 전파법

1. 개요[편집]

빔 전파법 Beam Propagation Method (BPM)
약칭	BPM
출발점	헬름홀츠 방정식 + 근축 근사
정체	z를 시간처럼 쓰는 슈뢰딩거 방정식형 진화식
두 계보	분리 스텝 푸리에 · 크랭크-니콜슨 유한차분
주 용도	방향성 결합기 · 테이퍼 · MMI · AWG 설계
못 하는 것	후방산란 · 공진기 · 큰 굴절률 대비 · 큰 전파각
대안	FDTD · 고유모드 전개(EME)

도파로 소자는 길이가 밀리미터인데 파장은 마이크로미터다. 이 비율을 정직하게 다 풀겠다는 건 용기가 아니라 낭비다.

빔 전파법(beam propagation method, BPM)은 광축 방향으로 필드 포락선이 완만하게 변한다는 근축(paraxial) 가정 아래, 2차 타원형 방정식인 헬름홀츠 방정식을 전파 방향 $z$ 에 대한 1차 진화 방정식으로 바꾸어 단면을 한 스텝씩 전진시키는 수치 기법이다. 경계값 문제를 초기값 문제로 강등시키는 것이 이 방법의 전부이며, 그 대가로 되돌아오는 파(후방산란)를 포기한다.

이 거래가 얼마나 남는 장사인지는 메모리에서 드러난다. FDTD는 소자 전체 부피를 격자로 채우고 시간까지 반복해야 하지만, BPM은 단면 하나 분량의 배열만 들고 $z$ 를 따라 행진한다. 길이 수 mm짜리 테이퍼나 결합기 설계에서 두세 자릿수 비용 차이가 나므로, 광집적회로 설계 도구의 기본 엔진이 오래 BPM이었다. 광섬유 문서에서 “축 방향으로 구조가 변하는 소자는 BPM이 표준”이라고 넘긴 그 이야기가 이 문서다.

2. 근축 근사 — 헬름홀츠를 1차식으로 강등시키기[편집]

시간 조화 스칼라 필드에 대한 헬름홀츠 방정식에서 출발한다.

$$\nabla^2 E + k_0^2 n^2(x,y,z)\,E = 0,\qquad k_0 = \frac{2\pi}{\lambda_0}$$

빔이 $+z$ 로 간다는 것을 알고 있으니 빠른 위상 진동을 미리 빼낸다. 기준 굴절률 $\bar{n}$ 을 잡고

$$E(x,y,z) = \psi(x,y,z)\, e^{\,i k_0 \bar{n} z}$$

로 놓고 대입하면 포락선 $\psi$ 에 대한 정확한 식이 나온다.

$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} + 2 i k_0 \bar{n}\frac{\partial \psi}{\partial z} + \nabla_{\!\perp}^2 \psi + k_0^2\left(n^2 - \bar{n}^2\right)\psi = 0$$

여기서 완만 포락선 근사(SVEA)를 쓴다. $\psi$ 가 $z$ 방향으로 파장 규모에서 거의 변하지 않으므로 $|\partial_z^2\psi| \ll |2k_0\bar{n}\,\partial_z\psi|$ 라 보고 첫 항을 버린다. 남는 것이 근축(파라볼릭) 파동 방정식이다.

$$\frac{\partial \psi}{\partial z} = \frac{i}{2 k_0 \bar{n}}\left[\nabla_{\!\perp}^2 + k_0^2\left(n^2 - \bar{n}^2\right)\right]\psi$$

이 한 줄에 BPM의 모든 성질이 들어 있다.

• $z$ 가 시간 역할을 한다. 형태가 시간 의존 슈뢰딩거 방정식과 동일하다. $k_0\bar{n}$ 이 질량, $-k_0(n^2-\bar{n}^2)/2\bar{n}$ 이 퍼텐셜에 대응하며 굴절률이 높은 영역이 깊은 우물이다. 도파로가 빛을 가두는 것이 우물이 입자를 가두는 것과 같은 수학이라는 뜻이고, 양자역학 코드와 광도파로 코드가 서로 베껴 쓸 수 있는 이유다.
• $\partial_z^2$ 를 버렸으므로 후방으로 가는 해가 사라졌다. 반사·후방산란은 원리적으로 표현되지 않는다. 이것이 비용 절감의 근원이자 한계의 근원이다.
• $\bar{n}$ 선택이 결과에 영향을 준다. $n$ 이 $\bar{n}$ 에서 많이 벗어난 영역에서는 SVEA가 약해지므로, 기준 굴절률은 관심 모드의 실효 굴절률 근처로 잡는 것이 정석이다. 클래딩 값을 무심코 넣으면 위상이 조용히 틀어진다.
• 전파각 제한. 광축과 큰 각을 이루는 성분은 $\partial_z^2$ 가 무시할 만하지 않으므로 위상 오차가 누적된다. 순수 근축 BPM은 대략 몇 도 수준의 각도까지만 신뢰할 만하다.

3. 두 계보 — 분리 스텝 푸리에와 크랭크-니콜슨[편집]

진화식을 형식적으로 $\partial_z\psi = (\hat{D} + \hat{N})\psi$ 로 쓰면 두 연산자가 각각 회절(횡방향 라플라시안)과 굴절률(곱셈)이다. 문제는 둘이 교환하지 않는다는 것이고, 여기서 두 계보가 갈린다.

분리 스텝 푸리에 BPM은 두 연산자를 번갈아 적용한다. $\hat{D}$ 는 파수 영역에서 곱셈이 되고 $\hat{N}$ 은 실공간에서 곱셈이 되므로, 한 스텝이 고속 푸리에 변환 두 번과 곱셈 두 번으로 끝난다.

$$\psi(z+\Delta z) \approx e^{\hat{N}\Delta z/2}\,\mathcal{F}^{-1}\!\left[e^{\hat{D}(k_\perp)\Delta z}\,\mathcal{F}\!\left[e^{\hat{N}\Delta z/2}\psi(z)\right]\right]$$

굴절 항을 반 스텝씩 양쪽에 나눠 붙이는 대칭(스트랑) 분할이라 국소 오차가 $O(\Delta z^3)$, 전체 정확도가 2차다. 구현이 짧고 빠르며, 광섬유의 비선형 슈뢰딩거 방정식을 푸는 분리 스텝과 사실상 같은 코드다. 대가는 FFT가 강요하는 조건들 — 균일 격자를 써야 하고, 경계가 자동으로 주기적이 되어 한쪽으로 새어 나간 빛이 반대쪽에서 되돌아 들어온다(wraparound). 그래서 흡수층이 필수다.

유한차분 BPM(FD-BPM)은 횡방향을 차분하고 $z$ 를 크랭크-니콜슨법으로 전진시킨다. 1차원 단면이면 매 스텝이 삼중대각 계 한 번이므로 FFT보다도 싸고, 2차원 단면이면 ADI(교대 방향 음해법)나 반복 솔버로 처리한다. 장점이 실무를 지배한다.

• 비균일 격자를 쓸 수 있다. 코어 근처만 촘촘하게.
• 굴절률 불연속면에 경계조건을 정확히 걸 수 있다.
• 투명 경계조건을 자연스럽게 붙일 수 있다.
• $z$ 진행이 무조건 안정하다(크랭크-니콜슨의 미덕).

그래서 상용 코드는 대체로 FD-BPM 쪽이고, 분리 스텝은 빠른 스케치와 비선형 문제에서 살아 있다.

4. 경계에서 빛을 어떻게 버릴 것인가[편집]

BPM 계산 창은 유한하고, 방사되어 나가는 빛은 반드시 발생한다. 이 빛이 경계에서 반사되어 되돌아오면 없는 간섭무늬가 생겨 결합 효율이 몇 %씩 틀린다. 처방은 셋이다.

• 흡수층: 경계 근처에서 굴절률에 허수부를 넣어 빛을 감쇠시킨다. 가장 단순하지만 층이 두꺼워야 하고, 두께·세기를 잘못 잡으면 층 입구에서 반사가 생긴다.
• 투명 경계조건(TBC): 경계 근처 두 격자점의 필드비에서 밖으로 나가는 평면파의 횡방향 파수를 매 스텝 추정하고, 그 파수를 갖는 외향파만 통과시키는 조건을 붙인다. 해들리(1991)의 이 방법은 추가 격자 비용이 0이면서 잘 듣기 때문에 FD-BPM의 사실상 표준이 됐다. 다만 파수 추정이 실수부가 잘못 나오면 경계에서 필드가 커지는 불안정이 생겨, 외향 조건을 강제로 클램프하는 안전장치를 같이 넣는다.
• 완전정합층(PML): FDTD에서 온 그 PML을 좌표 스트레칭 형태로 근축 방정식에 이식한 것. 광각 BPM이나 벡터 BPM처럼 여러 각도·편광 성분이 섞여 나갈 때 TBC보다 안정적이다.

5. 광각 BPM — 파데 근사로 각도를 되찾기[편집]

근축 근사를 버리고 정확한 단방향 방정식을 쓰면 이렇게 된다.

$$\frac{\partial \psi}{\partial z} = i k_0 \bar{n}\left(\sqrt{1 + X} - 1\right)\psi, \qquad X = \frac{\nabla_{\!\perp}^2 + k_0^2(n^2 - \bar{n}^2)}{k_0^2 \bar{n}^2}$$

제곱근 안에 미분 연산자가 들어 있으니 그대로는 못 쓴다. 근축 BPM은 이 제곱근을 테일러 1차 $\sqrt{1+X}\approx 1 + X/2$ 로 자른 것에 정확히 대응한다. 테일러를 더 높은 차수로 늘리는 것은 잘 안 되는데, 다항식 근사는 큰 $|X|$(=큰 전파각, 강한 굴절률 대비)에서 폭주하기 때문이다.

여기서 파데 근사가 등장한다. $\sqrt{1+X}$ 의 파데 (1,1) 근사는

$$\sqrt{1+X} \approx \frac{1 + \tfrac{3}{4}X}{1 + \tfrac{1}{4}X}$$

이고, 유리함수이므로 분모가 곧 선형계 한 번 풀기로 구현된다. FD-BPM은 이미 매 스텝 삼중대각 계를 푸는 구조이므로 파데 차수를 올리는 것이 자연스러운 확장이 된다. 해들리(1992)가 재귀적으로 고차 파데 연산자를 구성하는 방식을 제시한 이래, 상용 코드는 대개 파데 차수를 사용자가 고르게 해 놓았다. 차수를 올리면 신뢰 각도가 수십 도 대까지 올라가고 스텝당 비용은 선형계 개수만큼 늘어난다.

한 가지 실용적인 부산물이 있다. $z$ 를 허수로 잡아 전파시키면 각 모드 성분이 $e^{\beta_m \zeta}$ 로 커지므로, 전파 자체가 거듭제곱법이 되어 기본 모드가 살아남는다. 이것이 허수 거리 BPM이며, 전용 모드 해석 솔버 없이 BPM 코드만으로 고유값 문제를 푸는 편법으로 널리 쓰인다. 직교화를 섞으면 고차 모드까지 뽑을 수 있다.

또 하나의 축은 스칼라·준벡터·완전벡터 구분이다. 스칼라 BPM은 편광을 무시하고, 준벡터(semi-vectorial)는 TE/TM을 따로 다루며, 완전벡터 BPM은 횡방향 두 성분의 결합을 푼다. 굴절률 대비가 클수록 편광 결합이 커지므로, 실리카 도파로($\Delta n \sim 0.005$)에서는 스칼라로 충분하지만 실리콘 도파로($\Delta n \sim 2$)에서는 벡터 정식화가 필수다.

6. 설계 실무 — 결합기·테이퍼·MMI[편집]

BPM이 실제로 밥벌이하는 자리는 축 방향으로 천천히 변하는 소자의 전력 전달 효율을 뽑는 일이다.

6.1. 방향성 결합기[편집]

두 도파로를 가까이 두면 짝·홀 초모드(supermode)의 전파상수 차 $\Delta\beta$ 만큼 위상이 벌어지면서 전력이 왕복한다. 완전 전달이 일어나는 결합 길이는

$$L_c = \frac{\pi}{\Delta\beta} = \frac{\lambda_0}{2\,\Delta n_{\text{eff}}}$$

간극이 좁아지면 $\Delta n_{\text{eff}}$ 가 커져 $L_c$ 가 짧아지고, 대신 파장 의존성이 심해진다. BPM으로 간극과 길이를 훑으면 이 트레이드오프가 곧바로 그림으로 나온다. 실무에서 결합기를 3 dB 스플리터로 쓸 때 $L_c/2$ 를 쓰는 것도, 그 지점이 파장·공정 편차에 민감해서 대신 MMI를 쓰는 것도 이 곡선을 보고 내리는 결정이다.

6.2. 테이퍼[편집]

폭이 서서히 변하는 구간에서 국소 모드가 서로 결합하지 않으려면 변화가 충분히 느려야 한다. 정성적 기준은 테이퍼 길이가 국소 모드 사이의 맥놀이 길이보다 훨씬 길 것이며, 이를 만족하면 단열(adiabatic) 전달이 되어 손실이 거의 0이 된다. BPM은 선형·지수·클로소이드 등 테이퍼 프로파일을 바꿔가며 “얼마나 짧게 줄일 수 있나”를 따지는 데 쓰인다. 칩 면적이 곧 돈이므로 이 최적화는 항상 돌아간다.

6.3. 다중모드 간섭계(MMI)[편집]

넓은 다중모드 구간에 빛을 넣으면 모드들이 특정 거리에서 위상을 다시 맞춰 입력 필드의 상(image)을 재현한다. 이 자기결상(self-imaging) 길이의 기본 척도는

$$L_\pi \approx \frac{4\, n_r W_e^2}{3\,\lambda_0}$$

로, $W_e$ 는 실효 폭이다. $L_\pi$ 의 적절한 분수 위치에 출력 도파로를 놓으면 1×2, 2×2 스플리터가 되고, 방향성 결합기보다 파장·공정 편차에 훨씬 둔감하다. 그 대가로 길이가 길고 여분 손실이 조금 있다. 광통신용 AWG(배열 도파로 격자)의 입출력 커플러, 마흐-첼더 변조기의 스플리터가 전부 이 구조이며, 설계 단계에서 BPM으로 폭·길이·오프셋을 훑는 것이 관행이다.

7. 한계 — 언제 손을 떼야 하는가[편집]

BPM은 못 하는 것이 분명해서 오히려 쓰기 편한 도구다. 다음 상황에서는 시작부터 다른 방법으로 가야 한다.

상황	왜 BPM이 안 되는가	대안
브래그 격자, 분산 반사기	전방·후방 결합이 본질	FDTD · 결합모드 이론
링 공진기, 파브리-페로	왕복 공진이 본질	FDTD · 모드 전개법
급격한 계면·수직 접합	반사와 큰 각 산란 발생	모드 전개법(EME)
반경 수 µm 급 벤드	전파각이 근축을 이탈	벤드 좌표 변환 + 광각 · FDTD
광결정, 준파장 구조	후방산란·강한 회절	FDTD · 주파수 영역 고유해석
큰 굴절률 대비 + 편광	스칼라·근축 동시 붕괴	벡터 광각 BPM 또는 FDTD

정리하면 한 방향으로 천천히 흘러가는 소자에는 BPM, 되돌아오는 것이 있으면 FDTD 또는 EME다. 실무에서 흔한 조합은 긴 구간은 BPM(또는 EME)으로 처리하고 반사가 문제되는 국소 영역만 FDTD로 따로 푸는 분할 전략이다.

8. 여담[편집]

• BPM은 광학의 발명품이 아니다. 같은 근축 방정식이 수중음향에서 포물선 방정식법(PE), 대기 전파 예측, 그리고 하전입자 빔 광학에서 각각 독립적으로 쓰였다. 1978년 파이트와 플렉이 경사굴절률 광섬유 계산에 도입한 광학 BPM은, 그 계보에서 보면 여러 분야가 같은 방정식에 도달한 사례 중 하나다.¹
• 코드를 처음 짜면 반드시 하는 검증이 있다. 직선 도파로에 기본 모드를 넣고 길게 전파시켜 전력과 필드 모양이 그대로인지 본다. 여기서 전력이 줄면 흡수층이 도파로를 갉아먹고 있거나 격자가 모드를 못 담고 있는 것이다.
• 두 번째 검증은 자유공간 가우시안 빔의 회절 퍼짐을 해석해와 비교하는 것. 근축 해가 정확히 알려져 있어 스텝 크기 수렴성을 깔끔하게 볼 수 있다.
• 실리콘 포토닉스가 뜨면서 “BPM은 끝났다”는 말이 한동안 돌았다. 굴절률 대비가 너무 커서 근축이 무너진다는 이유였는데, 실제로는 벡터 광각 BPM과 EME가 그 자리를 나눠 가졌고 BPM은 여전히 초기 스케치 도구로 살아 있다. 하루에 수백 케이스를 훑어야 하는 파라미터 스윕에서 FDTD는 아무리 빨라도 대안이 못 된다.²
• 그리고 BPM 결과가 실측과 안 맞을 때 범인이 물리인 경우는 생각보다 드물다. 십중팔구 공정 편차로 도파로 폭이 20 nm 좁아졌거나 측벽이 기울어진 것이다.³

9. 관련 문서[편집]

• 헬름홀츠 방정식 · 슈뢰딩거 방정식 · 파동방정식
• 광섬유 · 도파관 · 모드 해석 · 고유값 문제
• FDTD · 유한요소 전자기 · 완전정합층
• 크랭크-니콜슨법 · 파데 근사 · 스펙트럴 방법 · 고속 푸리에 변환
• 비선형 슈뢰딩거 방정식 · 편광 · 광결정
• 모드 전개법 · 실리콘 포토닉스 · 광통신

10. Footnotes[편집]

1. 파이트와 플렉이 1978년에 발표한 것은 경사굴절률 섬유 안의 광 전파 계산이었다. 그런데 같은 무렵 수중음향 쪽에서는 이미 근축 방정식을 “PE 모델”로 부르며 해양 도파로 전파를 계산하고 있었다. 매질이 물이든 유리든, 파장보다 훨씬 긴 거리를 한 방향으로 가는 파의 방정식은 하나뿐이다. ↩

2. 이건 CFD에서 RANS가 LES에 안 밀리는 이유와 정확히 같은 논리다. 설계는 정확한 답 한 개보다 그럴듯한 답 500개가 필요할 때가 훨씬 많다. 마지막 한 케이스만 정직하게 풀면 된다. ↩

3. 이 때문에 실무 BPM 스윕에는 폭 ±20 nm, 두께 ±10 nm, 측벽각 같은 공정 편차 축이 기본으로 들어간다. 명목 설계값에서만 성능이 나오는 소자는 양산에서 죽는다. 시뮬레이션이 잘 맞았다고 기뻐하기 전에, 공정이 명목값을 지켜 줄 거라 믿었던 자신을 먼저 의심하는 편이 낫다. ↩