조지프슨 접합

1. 개요

조지프슨 접합 Josephson Junction
구조	초전도체–약결합(절연막·금속·좁은 목)–초전도체
DC 관계	$I = I_c\sin\varphi$
AC 관계	$d\varphi/dt = 2eV/\hbar$
조지프슨 상수	$K_J=2e/h$ = 483 597.848 4… GHz/V (2019 SI 이후 정확값)
자속 양자	$\Phi_0=h/2e$ ≈ 2.067 834 × 10⁻¹⁵ Wb
회로 모형	RCSJ (저항·커패시터 병렬 분로 접합)
응용	전압 표준, SQUID, 초전도 큐비트, RSFQ 논리, 파라메트릭 증폭기

전압 0 V 에서 전류가 흐르고, 직류 전압을 걸면 교류가 나온다. 전자공학 상식을 두 줄로 뒤집는 소자.

조지프슨 접합(Josephson junction)은 두 초전도체를 얇은 절연막이나 약한 연결부로 이어, 양쪽 쿠퍼 쌍 응축체의 위상차 $\varphi$ 가 전류와 전압을 직접 결정하게 만든 소자다. 1962년 케임브리지 대학원생 브라이언 조지프슨이 이론으로 예측했고, 이듬해 앤더슨·로웰이 실험으로 확인했다.

핵심은 식 두 개다.

$$I = I_c \sin\varphi, \qquad \frac{d\varphi}{dt} = \frac{2e}{\hbar}\,V .$$

첫째 식(DC 조지프슨 효과)은 전압 없이도 $I_c$ 까지의 초전류가 위상차만으로 흐른다는 뜻이다. 둘째 식(AC 조지프슨 효과)은 직류 전압 $V$ 를 걸면 위상이 일정하게 돌아가 전류가 주파수 $f = 2eV/h$ 로 진동한다는 뜻이다. 1 μV 에 483.6 MHz. 이 비례상수는 재료·온도·접합 모양과 무관한 기본상수 조합이라, 오늘날 볼트의 정의를 실현하는 장치가 됐다.

초전도 자체와 BCS 미시이론은 초전도·쿠퍼 쌍 문서가, 접합을 양자화해 인공 원자로 쓰는 이야기는 초전도 큐비트가 다룬다. 여기서는 고전 회로 소자로서의 접합 — 위상 동역학, 전류-전압 특성, 마이크로파 응답, 간섭 — 과 그것을 수치로 다루는 법에 집중한다.

2. 임계전류는 무엇이 정하나

$I_c$ 는 접합마다 다르지만, 절연막 터널 접합(SIS)이면 정상 상태 저항 $R_n$ 과 묶인 관계가 있다. 앰베가오카-바라토프 관계:

$$I_c R_n = \frac{\pi\Delta(T)}{2e}\tanh\!\frac{\Delta(T)}{2k_BT},$$

$T\to0$ 에서 $I_cR_n=\pi\Delta(0)/2e$ 다. 갭 $\Delta$ 가 BCS 값이라면 니오븀(Δ ≈ 1.5 meV)에서 약 2.4 mV가 나오는데, 실제 Nb/AlOx/Nb 접합의 $I_cR_n$ 은 이보다 약간 낮은 1.9 mV 안팎에서 측정되는 경우가 많다. 강결합 보정과 계면 품질 탓이다. 실무적으로는 이 관계 덕분에 상온에서 잰 저항으로 저온의 $I_c$ 를 예측할 수 있어, 큐비트 공정에서 웨이퍼 프로빙으로 접합을 골라내는 데 쓴다.

$I_c$ 는 접합을 꿰는 자기장에도 민감하다. 균일한 직사각형 접합에서 접합면을 통과하는 자속을 $\Phi$ 라 하면

$$I_c(\Phi) = I_c(0)\left|\frac{\sin(\pi\Phi/\Phi_0)}{\pi\Phi/\Phi_0}\right| ,$$

단일 슬릿 회절과 똑같은 프라운호퍼 무늬다. 자속 양자 하나가 들어가면 접합면 위에서 위상이 한 바퀴 꼬여 초전류가 서로 상쇄된다. 측정한 무늬가 이 모양에서 벗어나면 전류 분포가 불균일하다는 뜻이라, 접합 품질 진단에 그대로 쓰인다.

3. RCSJ 모형 — 위상은 세탁판 위의 공이다

실제 접합에는 초전류 말고도 준입자 터널 전류(저항 $R$)와 두 전극 사이 정전용량 $C$ 가 병렬로 붙어 있다. 바이어스 전류 $I$ 에 대해 키르히호프 법칙을 쓰고 $V=(\hbar/2e)\dot\varphi$ 를 넣으면 RCSJ(resistively and capacitively shunted junction) 모형이 된다.

$$\frac{\hbar C}{2e}\ddot\varphi + \frac{\hbar}{2eR}\dot\varphi + I_c\sin\varphi = I .$$

이것은 정확히 기울어진 세탁판 퍼텐셜 $U(\varphi) = -E_J\cos\varphi - (\hbar I/2e)\varphi$ 위를 구르는 감쇠 입자의 운동방정식이다($E_J=\hbar I_c/2e$). 질량은 $C$, 마찰은 $1/R$. 이 비유 하나로 접합의 거의 모든 거동이 읽힌다.

• $I<I_c$: 세탁판에 오목한 골이 남아 공이 갇힌다 → $\langle\dot\varphi\rangle=0$, 전압 0.
• $I>I_c$: 골이 사라져 공이 굴러 내려간다 → 평균 전압이 생긴다.

무차원 시간 $\tau=t\,(2eI_cR/\hbar)$ 로 바꾸면 남는 매개변수는 스튜어트-매컴버 매개변수 하나다.

$$\beta_c = \frac{2e I_c R^2 C}{\hbar} .$$

$\beta_c\ll1$ 은 과감쇠(관성 무시), $\beta_c\gg1$ 은 저감쇠다. 소형 접합의 진동 주파수인 플라스마 주파수는 $\omega_p=\sqrt{2eI_c/\hbar C}$ 로, 세탁판 골 바닥에서의 미소 진동수다.

4. 과감쇠 극한 — 닫힌꼴과 직접 검산

$\beta_c\to0$ 이면 1차 방정식 $\dot\varphi = i - \sin\varphi$ ($i=I/I_c$) 가 남고, 시간 평균 전압이 닫힌꼴로 나온다. $\varphi$ 가 $2\pi$ 를 한 바퀴 도는 주기 $\int_0^{2\pi}d\varphi/(i-\sin\varphi) = 2\pi/\sqrt{i^2-1}$ 이므로

$$\langle V\rangle = R\sqrt{I^2-I_c^2}\quad (I>I_c).$$

이 적분을 수치 구적으로 다시 계산하면 $i=1.05, 1.2, 1.5, 2, 3$ 에서 평균 전압 $0.3202, 0.6633, 1.1180, 1.7321, 2.8284$ (단위 $I_cR$) 로 해석식과 15자리까지 같다. 같은 식을 4차 룽게-쿠타법(무차원 $\Delta\tau=0.01$)으로 $\tau=400$ 까지 적분해 위상 증가량을 시간으로 나누면 $i=1.5$ 에서 1.1177이 나온다 — 0.03% 차이는 대부분 초기 과도 구간과 마지막 미완성 주기를 평균에 섞은 탓이고, 적분 구간을 늘리면 줄어든다. 위상 진동 주기를 정수 개로 맞춰 평균하는 것이 IV 곡선 시뮬레이션의 기본 요령이다.

임계전류 바로 위에서 $\langle V\rangle\propto\sqrt{I-I_c}$ 로 솟는 것은 안장-마디 분기의 전형적인 제곱근 거동이고, 이때 위상은 거의 멈춘 듯 머물다 순식간에 한 바퀴 미끄러지는 “위상 미끄럼”을 반복한다.

저감쇠($\beta_c>1$)로 가면 관성 때문에 이력이 생긴다. 전류를 올릴 때는 $I_c$ 에서 전압 상태로 튀지만, 내릴 때는 굴러가는 공이 관성으로 골을 넘어가 훨씬 낮은 재포획 전류 $I_r$ 까지 전압 상태를 유지한다. $\beta_c\gg1$ 에서 $I_r/I_c\approx 4/(\pi\sqrt{\beta_c})$ 다. 터널 접합이 디지털 래치처럼 쓰일 수 있는 이유이자, 반대로 RSFQ 논리처럼 이력이 싫은 회로에서 외부 분로 저항을 달아 $\beta_c\approx1$ 로 맞추는 이유다.

5. 샤피로 계단 — 볼트를 주파수로 정의한다

바이어스에 마이크로파 전류 $i_{ac}\sin\Omega t$ 를 더하면, 위상 회전이 외부 주파수에 잠기는(위상 동기) 구간이 생긴다. 이때 평균 전압은 정확히

$$V_n = n\,\frac{h f}{2e}, \qquad n = 0, \pm1, \pm2, \dots$$

에 고정되고, IV 곡선에 평평한 샤피로 계단이 나타난다. 과감쇠 모형 $\dot\varphi=i_{dc}+i_{ac}\sin\Omega\tau-\sin\varphi$ 를 $\Omega=1$, $i_{ac}=1$ 로 RK4 적분해 $i_{dc}$ 를 0.02 간격으로 훑어 보면

• $n=0$ 계단: $i_{dc}\lesssim0.78$ 까지 $\langle\dot\varphi\rangle=0$,
• $n=1$ 계단: 대략 $1.00\le i_{dc}\le1.64$ 에서 $\langle\dot\varphi\rangle/\Omega=1.0000$,
• $n=2$ 계단: 대략 $2.16\le i_{dc}\le2.36$ 에서 2.0000,

이고 계단 사이에서는 전압이 매끈하게 이어진다. 계단 높이는 어느 적분 설정에서도 정확히 $n\Omega$ 로 나오지만, 계단 폭은 $i_{ac}$·$\Omega$·$\beta_c$ 에 따라 변한다. 전압 바이어스 근사에서는 폭이 $|J_n(2eV_{ac}/\hbar\omega)|$ 에 비례하는 베셀 함수 꼴이지만, 전류 바이어스 RCSJ에서는 그 공식이 정확하지 않으니 수치로 구해야 한다.

이 정밀성을 산업화한 것이 조지프슨 전압 표준이다. 접합 수천~수십만 개를 직렬로 이어 마이크로파 하나로 구동하면 1 V·10 V 를 주파수 정확도로 만든다. 1990년부터 국제적으로 $K_{J\text{-}90}=483\,597.9$ GHz/V 라는 협정값을 썼고, 2019년 SI 개정에서 $e$ 와 $h$ 가 정의값이 되면서 $K_J=2e/h$ 는 정의에 의해 정확한 수가 됐다.¹

6. SQUID — 두 접합의 간섭

초전도 고리에 접합 두 개를 넣은 DC SQUID는 고리를 꿰는 자속 $\Phi$ 에 따라 두 접합의 위상차가 $2\pi\Phi/\Phi_0$ 만큼 어긋난다. 접합이 같고 고리 인덕턴스가 무시할 만하면 전체 임계전류가

$$I_c^{\text{SQUID}}(\Phi) = 2I_c\left|\cos\frac{\pi\Phi}{\Phi_0}\right|$$

로 자속 양자 주기로 진동한다(이중 슬릿 간섭의 초전도판). $\Phi_0\approx2.07\times10^{-15}$ Wb 이니, 1 cm² 고리면 약 20 pT 변화로 한 주기가 지나고, 실제 소자는 그 주기의 백만분의 일 수준까지 분해한다. 뇌자도·지자기 탐사·재료 자화율 측정(SQUID 자력계)이 이 원리다. 실제 설계에서는 고리 인덕턴스 $L$ 의 차폐 매개변수 $\beta_L=2LI_c/\Phi_0$ 를 1 근처로 맞추고, 열잡음이 $\Phi_0$ 진폭을 덮지 않게 $\Phi_0^2/2L\gg k_BT$ 를 확인한다.

7. 수치적으로 다룰 때

• 회로 시뮬레이터. 접합은 SPICE 계열(JSIM, WRspice, JoSIM 등)에 RCSJ 소자로 들어가 있고, 위상을 상태변수로 직접 적분한다. 전압 대신 위상을 노드 변수로 쓰면 $\sin\varphi$ 의 비선형이 바로 보인다. RSFQ 회로는 이 방식으로 수만 접합 규모를 돌린다.
• 강성. 저감쇠 접합이 섞이면 플라스마 진동(수백 GHz)과 바이어스 변화(ns 이상)가 공존해 시간 척도가 크게 벌어진다. 강성 방정식용 음해법을 쓰거나 플라스마 주기의 1/50 정도로 시간 간격을 잡는다.
• 열잡음. 저항 $R$ 에 존슨 잡음 전류를 붙이면 RCSJ가 랑주뱅 동역학이 된다. 이때 $I<I_c$ 에서도 위상이 골을 넘는 열 활성 탈출이 일어나 스위칭 전류가 분포를 갖는다. 그 평균 탈출률이 바로 크라머스 탈출률의 문제이고, 온도를 더 내리면 거시 양자 터널링이 열 활성을 대체한다.²
• 긴 접합. 접합 길이가 조지프슨 침투 깊이보다 길면 위상이 공간에도 의존해 사인-고든 방정식 $\varphi_{xx}-\varphi_{tt}=\sin\varphi$ 가 된다. 자속 양자 하나가 솔리톤(플럭손)으로 접합을 따라 달리며, 이것은 솔리톤 수치해석의 교과서 예제다.³

8. 관련 문서

• 초전도 · 쿠퍼 쌍 · 긴즈부르크-란다우 이론 · BCS 이론
• 초전도 큐비트 · 전송선 이론 · SQUID
• 크라머스 탈출률 · 랑주뱅 동역학 · 평균 첫 통과 시간
• 강성 방정식 · 룽게-쿠타법 · 솔리톤 · 샤피로 계단

9. Footnotes

1. 덕분에 “1 V 는 얼마냐”는 질문의 공식 답은 사실상 “마이크로파 주파수 곱하기 정수 나누기 $K_J$” 다. 전압계 교정실에 가면 액체 헬륨 듀어 안에 칩 하나가 들어앉아 국가의 볼트를 지키고 있다. ↩

2. 1980년대 클라크·드보레·마티니스의 거시 양자 터널링 실험이 바로 이 스위칭 분포의 저온 포화를 잰 것이다. 회로라는 거시 자유도가 양자역학을 따른다는 이 결과가 초전도 큐비트의 출발점이 됐고, 세 사람은 2025년 노벨 물리학상을 받았다. ↩

3. 사인-고든이라는 이름은 클라인-고든 방정식의 말장난이다. 진지한 물리학자들도 작명할 때는 킹받는 드립을 참지 못한다. ↩