푸아송 합 공식

1. 개요

푸아송 합 공식 Poisson Summation Formula
식	$\sum_n f(n)=\sum_k \hat f(k)$
푸리에 규약	$\hat f(\xi)=\int f(x)\,e^{-2\pi i x\xi}\,dx$
한 줄 요약	표본화 ⇔ 주기화, 격자 ⇔ 역격자
조건(충분)	$f$, $\hat f$ 가 $(1+\lvert x\rvert)^{-1-\delta}$ 처럼 감쇠
대표 응용	에일리어싱, 사다리꼴 공식 지수 수렴, 에발트 합산, 세타 함수
이름	시메옹 드니 푸아송 (19세기 초)

정수점에서 함수값을 더한 것과, 정수점에서 푸리에 변환값을 더한 것이 같다. 이게 왜 성립하냐고? 성립 안 하면 FFT 가 거짓말을 하는 거다.

푸아송 합 공식(Poisson summation formula)은 충분히 빨리 감쇠하는 함수 $f$ 에 대해, 정수 격자 위의 함수값의 합이 정수 격자 위의 푸리에 변환값의 합과 같다는 항등식이다.

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\hat f(k),\qquad \hat f(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,e^{-2\pi i x\xi}\,dx .$$

한쪽에서 천천히 수렴하는 합이 다른 쪽에서는 몇 항 만에 끝나는 일이 흔해서, 느린 합을 빠른 합으로 바꾸는 계산 도구로 쓰인다. 동시에 디지털 신호처리의 에일리어싱, 주기 함수에서 사다리꼴 공식이 지수적으로 수렴하는 이유, 분자 시뮬레이션의 에발트 합산, 리만 제타 함수의 함수 방정식이 전부 이 한 줄에서 나온다. 시뮬레이션 쪽에서 “표본을 찍는 순간 스펙트럼이 주기화된다”는 말을 들었다면 그게 이 공식이다.

2. 왜 성립하나 — 주기화의 푸리에 계수

증명은 한 문단이다. $f$ 를 정수만큼 평행이동해 다 더한 주기화

$$F(x)=\sum_{n}f(x+n)$$

는 주기 1인 함수다. 그 푸리에 변환 대신 푸리에 계수를 구하면

$$c_k=\int_0^1F(x)e^{-2\pi ikx}dx=\sum_n\int_n^{n+1}f(y)e^{-2\pi iky}dy=\hat f(k)$$

로, 구간들이 이어 붙어 실수축 전체 적분이 된다. 따라서 $F(x)=\sum_k\hat f(k)e^{2\pi ikx}$ 이고, $x=0$ 을 넣으면 공식이 나온다. 간격 $T$ 와 이동 $x$ 를 살린 일반형은

$$\sum_{n}f(x+nT)=\frac1T\sum_{k}\hat f\!\left(\frac kT\right)e^{2\pi ikx/T}$$

이다. 분포론 언어로는 디랙 빗 $\text{Ш}_T=\sum_n\delta(x-nT)$ 의 푸리에 변환이 $\frac1T\text{Ш}_{1/T}$ 라는 한 문장이다. 간격 $T$ 로 촘촘한 빗은 간격 $1/T$ 로 성긴 빗으로 간다. 격자 $\Lambda$ 위의 다차원판은 $\sum_{n\in\Lambda}f(n)=\frac{1}{\lvert\Lambda\rvert}\sum_{k\in\Lambda^*}\hat f(k)$ 로, 오른쪽은 역격자 $\Lambda^*$ 위의 합이고 $\lvert\Lambda\rvert$ 는 단위 세포 부피다. 결정학의 역격자가 정확히 이것이다.

조건은 공짜가 아니다. $f$ 와 $\hat f$ 가 둘 다 $(1+|x|)^{-1-\delta}$ 처럼 감쇠하면 양변이 절대수렴하고 등식이 성립한다. 연속이고 적분가능하다는 것만으로는 부족해서, 양변이 각각 수렴하는데도 값이 다른 반례가 알려져 있다. 불연속 함수라면 점별 값 대신 좌우 극한의 평균을 써야 맞는다.

3. 숫자로 확인 — 가우스 함수

$f(x)=e^{-\pi a x^2}$ 이면 $\hat f(\xi)=a^{-1/2}e^{-\pi\xi^2/a}$ 이므로

$$\sum_n e^{-\pi a n^2}=\frac{1}{\sqrt a}\sum_k e^{-\pi k^2/a}.$$

이것이 야코비 세타 함수의 변환 공식이다. 이 문서를 쓰며 $a=0.1,\,1,\,3$ 에서 양변을 각각 401항까지 더해 봤고 차이는 $4\times10^{-16}$ 이하, 곧 배정밀도 반올림 수준이었다. 계산 도구로서의 위력은 $a$ 가 작을 때 드러난다. $a=0.01$ 이면

왼쪽 합에서 쓴 항 ($\lvert n\rvert\le M$)	$M=5$	$M=10$	$M=20$	$M=30$
부분합	8.331	9.917	9.99999742	9.9999999999998

로 30항 넘게 더해야 끝나지만, 오른쪽은 $k=0$ 항 하나가 $1/\sqrt{0.01}=10$ 이고 다음 항이 $10\,e^{-100\pi}\approx10^{-136}$ 이라 한 항으로 끝난다. 왼쪽에서 넓게 퍼진 함수는 오른쪽에서 좁다. 퍼짐과 좁음이 맞바뀌는 이 성질이 에발트 합산의 원리 그대로다.

4. 수치해석이 얻는 것

사다리꼴 공식의 지수 수렴. 간격 $h$ 의 사다리꼴 합 $h\sum_n f(nh)$ 에 일반형을 적용하면

$$h\sum_{n}f(nh)=\sum_k\hat f\!\left(\frac kh\right)=\int f\,dx+\sum_{k\ne0}\hat f\!\left(\frac kh\right)$$

이다. 오차가 푸리에 변환의 꼬리 $\hat f(\pm1/h)$ 로 정해진다. $f=e^{-x^2}$ 이면 $\hat f(\xi)=\sqrt\pi\,e^{-\pi^2\xi^2}$ 이라 오차의 주항이 $2\sqrt\pi\,e^{-\pi^2/h^2}$ 이다. 직접 재 보니

$h$	실제 오차	$2\sqrt\pi e^{-\pi^2/h^2}$
1.5	$4.41\times10^{-2}$	$4.41\times10^{-2}$
1.0	$1.834\times10^{-4}$	$1.834\times10^{-4}$
0.75	$8.50\times10^{-8}$	$8.50\times10^{-8}$
0.5	반올림 수준	$2.5\times10^{-17}$

로 예측과 맞았다. 간격을 반으로 줄이면 오차가 $h^2$ 비율이 아니라 지수의 제곱으로 준다. 실수축 전체의 매끄러운·빠르게 감쇠하는 함수와 매끄러운 주기 함수의 한 주기 적분에서 사다리꼴이 가우스 구적법과 맞먹는 이유다. 오일러-매클로린 공식은 같은 사실을 “끝점 미분 보정항이 전부 0” 이라고 말하지만, 그 보정 급수는 대개 발산하는 점근 급수라 지수 수렴의 정량적 속도는 푸아송 쪽이 준다(트레페턴·와이드먼 2014).

표본화와 에일리어싱. 신호 $f$ 를 간격 $T$ 로 표본화하면 표본열의 이산시간 푸리에 변환은 $\frac1T\sum_k\hat f(\xi-k/T)$ 이다. 원래 스펙트럼을 $1/T$ 간격으로 복사해 겹쳐 놓은 것이다. 대역이 $1/(2T)$ 안에 있으면 복사본이 안 겹치고 원신호가 복원된다는 것이 표본화 정리이고, 겹치면 고주파가 저주파로 접혀 들어오는 것이 에일리어싱이다. 같은 논리를 주파수 쪽에도 적용하면 이산 푸리에 변환이 보는 시간 신호는 원신호를 길이 $N T$ 로 주기화한 것이 된다. 고속 푸리에 변환으로 비주기 신호를 다룰 때 윈도 함수와 영 채우기가 필요한 이유다.

스펙트럴 방법. 격자에서 비선형 항을 곱하면 고파수가 격자 밖 파수로 넘어가고, 표본화 과정에서 다시 격자 파수로 접혀 들어온다. 스펙트럴 방법의 2/3 규칙 디앨리어싱은 이 접힘을 막는 처방이다.¹

5. 물리가 얻는 것

에발트 합산. 주기 경계 안의 점전하 쿨롱 합 $\sum 1/r$ 은 조건부로만 수렴하는 악명 높은 합이다. 에발트(1921)는 $1/r=\operatorname{erfc}(\alpha r)/r+\operatorname{erf}(\alpha r)/r$ 로 쪼갰다. 앞쪽은 짧은 거리에서 빠르게 죽으니 실공간에서 직접 더하고, 뒤쪽은 매끄러운 가우스 전하 분포의 퍼텐셜이라 실공간에서는 넓게 퍼져 있지만 푸아송 합으로 역격자로 넘기면 가우스 꼬리 $e^{-\pi^2k^2/\alpha^2}$ 때문에 몇 항 만에 끝난다. 위 가우스 예의 3차원판이다. 역공간 합을 FFT로 처리한 것이 입자 메시 에발트(PME)이고 분자동역학 정전기 계산의 표준이다.

열방정식의 두 얼굴. 길이 1 주기 구간의 열방정식 해는 거울상 방법으로 $\sum_n G(x+n,t)$ (자유 공간 그린 함수의 주기화)로도, 푸리에 급수 $\sum_k e^{-4\pi^2k^2Dt}e^{2\pi ikx}$ 로도 쓸 수 있다. 둘이 같다는 것이 바로 푸아송 합이다. 짧은 시간에는 거울상 합이, 긴 시간에는 푸리에 급수가 몇 항 만에 수렴한다. 수치 코드에서 둘을 시간에 따라 갈아타면 어느 $t$ 에서나 빠르다.

수론으로의 다리. 세타 함수 변환 공식에 멜린 변환을 걸면 리만 제타 함수의 함수 방정식 $\xi(s)=\xi(1-s)$ 이 나온다. 리만의 1859년 논문의 두 번째 증명이 이 경로다. 감마 함수가 함수 방정식에 끼어드는 것도 여기서 온다.²

6. 실전 지뢰

• 규약 혼동. 푸리에 변환을 $\int f e^{-i\omega x}dx$ 로 정의하면 공식이 $\sum_n f(n)=\sum_k\hat f(2\pi k)$ 로 바뀐다. $2\pi$ 를 어디에 두느냐로 결과가 $2\pi$ 배씩 틀리는 사고가 끝없이 난다. 첫 줄에 규약부터 적어라.
• 매끄러움이 수렴 속도를 정한다. $f(x)=1/(1+x^2)$ 은 꼬리가 대수적이지만 실수축 근처 띠에서 해석적이라 $\hat f(\xi)=\pi e^{-2\pi\lvert\xi\rvert}$ 가 지수 감쇠하고, 사다리꼴 오차도 $e^{-2\pi/h}$ 꼴로 지수적이다(대신 무한합을 자르는 절단 오차가 느리게 준다). 반대로 $f$ 에 꺾임이나 불연속이 있으면 $\hat f$ 의 꼬리가 대수적이 되고 사다리꼴 오차도 대수적으로 떨어진다. 매끄러움 ⇔ 스펙트럼 꼬리 ⇔ 수렴 속도가 한 묶음이다.
• 끝이 있는 구간. 비주기 함수를 유한 구간에서 사다리꼴로 적분하면 주기화가 끝점에서 불연속을 만들어 $O(h^2)$ 로 돌아간다. 지수 수렴을 원하면 변수 치환(tanh-sinh 등)으로 끝점에서 함수가 납작해지게 만들거나 가우스 구적법을 쓴다.³

7. 관련 문서

• 푸리에 변환 · 이산 푸리에 변환 · 고속 푸리에 변환 · 표본화 정리 · 윈도 함수
• 수치적분 · 클렌쇼-커티스 구적 · 오일러-매클로린 공식 · 점근 급수
• 에발트 합산 · 입자 메시 에발트 · 분자동역학 · 스펙트럴 방법
• 열방정식 · 그린 함수 · 리만 제타 함수 · 감마 함수 · 세타 함수

8. Footnotes

1. 오르삭의 2/3 규칙은 “격자 파수 상위 3분의 1을 매 스텝 잘라 버려라”다. 계산한 모드의 3분의 1을 버리는 게 아까워 보이지만, 안 버리면 그 3분의 1이 나머지를 오염시킨다. 갈아넣은 격자의 1/3을 제물로 바치는 의식이다. ↩

2. 리만은 그 8쪽짜리 논문에서 함수 방정식을 두 가지 방법으로 증명하고, 지나가는 말로 리만 가설을 던졌다. 세타 함수 경로가 그중 하나이고, 오늘날 교과서 대부분이 이쪽을 따른다. ↩

3. 다카하시·모리의 이중 지수(tanh-sinh) 공식이 바로 이 발상이다. 끝점 특이성이 있는 적분도 변수 치환 한 번으로 실수축 전체의 이중 지수 감쇠 함수로 바꾼 뒤 사다리꼴로 박살 낸다. 푸아송 합 공식이 오차 해석의 뒷배다. ↩