오일러-매클로린 공식

1. 개요

오일러-매클로린 공식 Euler–Maclaurin Formula
한 줄 요약	합 = 적분 + 끝점 보정 + 베르누이 수 × 끝점 도함수
계수	$B_{2k}/(2k)!$ — $1/12,\ -1/720,\ 1/30240,\ \dots$
성질	일반적으로 발산하는 점근 전개, 최적 절단이 있다
낳은 것	사다리꼴 공식 오차 $h^2, h^4, \dots$ · 롬베르그 · 스털링 급수
숨은 결론	주기함수의 사다리꼴 공식은 지수 수렴
시기	오일러(1730년대)·매클로린(1742) 독립 발견

이산 합과 연속 적분 사이의 차이를 끝점에서의 정보만으로 정확히 장부 정리하는 공식.

오일러-매클로린 공식(Euler–Maclaurin formula)은 매끄러운 함수 $f$ 의 정수점 합을 적분과 끝점 도함수로 표현하는 공식이다. 정수 $a < b$ 에 대해

$$\sum_{k=a}^{b} f(k) = \int_a^b f(x)\,dx + \frac{f(a) + f(b)}{2} + \sum_{j=1}^{p} \frac{B_{2j}}{(2j)!}\Bigl(f^{(2j-1)}(b) - f^{(2j-1)}(a)\Bigr) + R_p$$

이고, $B_{2j}$ 는 베르누이 수($B_2 = 1/6$, $B_4 = -1/30$, $B_6 = 1/42$, …)다. 나머지는

$$\lvert R_p\rvert \le \frac{2\zeta(2p)}{(2\pi)^{2p}} \int_a^b \bigl\lvert f^{(2p)}(x)\bigr\rvert\,dx$$

로 묶인다. 오일러가 1730년대 급수 계산용으로, 매클로린이 1742년 『유율론』에서 서로 독립적으로 얻었다.

수치해석에서는 이 공식이 두 방향으로 쓰인다. 적분 → 합 방향으로 읽으면 수치적분의 사다리꼴 공식 오차가 $h^2, h^4, h^6, \dots$ 의 짝수 거듭제곱으로만 전개된다는 정리가 되고, 이것이 리처드슨 외삽법·롬베르그 적분의 근거다. 합 → 적분 방향으로 읽으면 천천히 수렴하는 급수를 앞 몇 항만 더하고 나머지를 적분과 보정항으로 메우는 급수 가속 기법이 된다. 그리고 공식 자체가 점근 급수라서, 항을 무한정 늘리면 오히려 망가진다는 함정도 같이 딸려 온다.

2. 어디서 나오는가 — 부분적분의 반복

한 칸 $[0,1]$ 에서 시작하자. $B_1(x) = x - \tfrac12$ 로 두면 $B_1' = 1$ 이므로 부분적분 한 번에

$$\int_0^1 f(x)\,dx = \frac{f(0) + f(1)}{2} - \int_0^1 B_1(x) f'(x)\,dx.$$

첫 항이 칸 하나짜리 사다리꼴 공식이고, 남은 적분이 오차다. $B_1$ 을 적분해 평균 0 인 2차 다항식 $B_2(x)/2$ 를 만들고 다시 부분적분하면 끝점 항 $\tfrac{B_2}{2!}(f'(1) - f'(0))$ 가 나오고, 이를 반복하면 베르누이 다항식 $B_k(x)$ 와 그 끝점값인 베르누이 수가 차례로 튀어나온다. 홀수 차수 $B_{2j+1}(0) = B_{2j+1}(1) = 0$ ($j \ge 1$) 이라 홀수 도함수 항만 남고 계수는 짝수 베르누이 수뿐이다. 칸을 $a$ 부터 $b$ 까지 이어 붙이면 안쪽 끝점 항이 서로 소거되어(베르누이 다항식을 주기적으로 연장한 함수를 쓰면 매끄럽게 이어진다) 바깥 끝점 $a$, $b$ 의 항만 남는다. 이 「안쪽은 소거, 바깥만 남는다」가 공식의 모든 쓰임새의 원천이다.

3. 사다리꼴 공식의 오차 전개

간격 $h = (b-a)/n$ 의 합성 사다리꼴 공식 $T(h)$ 에 위 공식을 쓰면

$$T(h) - \int_a^b f\,dx = \frac{h^2}{12}\bigl(f'(b) - f'(a)\bigr) - \frac{h^4}{720}\bigl(f'''(b) - f'''(a)\bigr) + \frac{h^6}{30240}\bigl(f^{(5)}(b) - f^{(5)}(a)\bigr) - \cdots$$

이다. 검산: $f = e^x$, $[0, 1]$.

$n$	실제 오차	1항 $\tfrac{h^2}{12}(e - 1)$	1항 뺀 나머지	2항 $-\tfrac{h^4}{720}(e - 1)$
4	$8.9401\times10^{-3}$	$8.9494\times10^{-3}$	$-9.308\times10^{-6}$	$-9.322\times10^{-6}$
8	$2.2368\times10^{-3}$	$2.2374\times10^{-3}$	$-5.824\times10^{-7}$	$-5.826\times10^{-7}$
16	$5.5930\times10^{-4}$	$5.5934\times10^{-4}$	$-3.641\times10^{-8}$	$-3.642\times10^{-8}$

1항이 오차를 셋째 자리까지, 2항이 나머지를 다시 셋째 자리까지 맞힌다. 이 표에서 세 가지가 나온다.

• 끝점 도함수를 알면 공짜로 차수를 올린다. $T(h) - \tfrac{h^2}{12}(f'(b) - f'(a))$ 는 4차 정확도다(「끝점 보정 사다리꼴」). 도함수 대신 끝점 근처 함수값의 유한차분으로 바꾼 것이 그레고리 공식이다.
• 짝수 차수만 있으니 외삽이 두 배로 효율적이다. $h$ 와 $h/2$ 결과를 $(4T(h/2) - T(h))/3$ 로 섞으면 $h^2$ 항이 지워지고 다음이 $h^4$ 다. 이 표를 계속 쌓은 것이 롬베르그 적분이고, 첫 열 외삽이 정확히 심프슨 공식이 된다.
• 격자 수렴 지수의 이론 차수 $p = 2$ 가 어디서 오는가도 이 표가 답한다. 관측 차수가 2 에서 벗어나면 끝점에서 함수가 매끄럽지 않거나(특이점), 아직 점근 영역이 아니라는 신호다.

4. 주기함수 — 오차항이 전부 사라질 때

$f$ 가 주기 $b - a$ 의 매끄러운 주기함수면 $f^{(2j-1)}(b) = f^{(2j-1)}(a)$ 가 모든 $j$ 에서 성립해 보정항이 전부 0 이 된다. 그렇다고 오차가 정확히 0 은 아니다 — 공식이 발산하는 점근 급수라 「모든 항이 0」 은 「어떤 거듭제곱 $h^{2p}$ 보다도 빨리 줄어든다」는 뜻일 뿐이다. 실제로 $f$ 가 띠 영역에서 해석적이면 오차는 지수적으로 준다(트레페텐-바이더만 2014).

$\int_0^{2\pi} e^{\cos x}\,dx = 2\pi I_0(1)$ 을 $n$ 점 사다리꼴로 재면:

$n$	4	8	12	16
오차	$3.4\times10^{-2}$	$1.3\times10^{-6}$	$6.5\times10^{-12}$	$9.3\times10^{-18}$

16점에 배정밀도를 넘는다. 주기함수에서는 같은 점 수의 가우스 구적보다도 대개 낫다. 이 사실이 스펙트럴 방법의 주기 경계 문제, 복소 평면의 원 위 적분(코시 적분으로 도함수·행렬 함수 계산), 그리고 클렌쇼-커티스 구적(변수 치환 $x = \cos\theta$ 로 비주기 적분을 주기 적분으로 바꾼다)이 사다리꼴 공식을 쓰는 이유다. 「사다리꼴은 2차짜리 저급 공식」이라는 통념은 비주기 함수에서만 맞다¹.

5. 합을 적분으로 — 급수 가속과 스털링

반대 방향으로 쓰면 꼬리 합을 메울 수 있다. $\sum_{k=N+1}^{\infty} f(k)$ 는

$$\int_N^{\infty} f\,dx - \frac{f(N)}{2} - \sum_{j=1}^{p} \frac{B_{2j}}{(2j)!} f^{(2j-1)}(N)$$

로 근사된다. 바젤 문제 $\zeta(2) = \sum 1/k^2 = \pi^2/6$ 로 재 보자. 앞 $N = 10$ 항만 더하면 오차가 $9.5\times10^{-2}$ 다. 꼬리를 적분과 $f(N)/2$ 로 메우면($p = 0$) $1.7\times10^{-4}$, 보정항을 하나씩 더하면

$$3.3\times10^{-7},\ 2.3\times10^{-9},\ 3.3\times10^{-11},\ 7.3\times10^{-13},\ 2.4\times10^{-14},\ 1.1\times10^{-15},\ 6.6\times10^{-17}$$

로, 10항짜리 합에 보정항 7개를 얹어 16자리를 맞힌다. 오일러가 손으로 바젤 합을 여러 자리까지 계산해 $\pi^2/6$ 을 추측한 것이 이 공식 덕이다².

같은 방법을 $\sum_{k=1}^{n}\ln k = \ln n!$ 에 쓰면 스털링 급수

$$\ln n! \sim n\ln n - n + \tfrac12\ln(2\pi n) + \frac{1}{12n} - \frac{1}{360n^3} + \cdots$$

가 나온다. 단, 상수 $\tfrac12\ln 2\pi$ 는 오일러-매클로린이 정해 주지 않는다(공식은 「어떤 상수」까지만 알려 준다). 그 값은 월리스 곱이나 가우스 적분으로 따로 정한다. $n = 10$ 에서 처음 네 항까지 쓴 근사의 나머지는 $8.33\times10^{-3}$ 이고 $1/(12n)$ 을 더하면 $2.8\times10^{-6}$, $-1/(360n^3)$ 까지 더하면 $7.8\times10^{-9}$ 로 준다. 이것이 감마 함수를 큰 인자에서 계산하는 표준 경로다.

6. 발산과 최적 절단

베르누이 수는 $\lvert B_{2j}\rvert \sim 4\sqrt{\pi j}\,(j/\pi e)^{2j}$ 로 계승보다 빠르게 자란다. 그래서 끝점 도함수가 $f^{(m)} \sim m!$ 로 자라는 평범한 함수($1/x^2$, $\ln x$ 같은)에서는 보정항 급수가 발산한다. 위 바젤 예에서 $N = 2$ 로 잡으면(앞 2항만 더함) 보정항 개수 $p$ 에 따른 오차가

$p$	1	2	4	6	8	10	12	14
오차	$9.0\times10^{-4}$	$1.4\times10^{-4}$	$2.2\times10^{-5}$	$1.5\times10^{-5}$	$3.4\times10^{-5}$	$1.8\times10^{-4}$	$2.0\times10^{-3}$	$4.2\times10^{-2}$

로, $p \approx 6$ 에서 바닥을 찍고 다시 커진다. 전형적인 점근 급수의 최적 절단이다 — 최소 오차는 대략 가장 작은 항의 크기이고, 시작점 $N$ 을 키우면 그 바닥이 급격히 내려간다($N = 10$ 에서는 $p = 7$ 에서도 아직 줄고 있었다). 실무 요령은 그래서 「항을 늘리지 말고 $N$ 을 늘려라」다. 롬베르그 표를 너무 깊이 파면 정확도가 나빠지는 것도 같은 이유이고, 이것은 반올림 탓만이 아니다.

공식이 전제하는 것은 끝점에서의 매끄러움이다. $\int_0^1\sqrt x\,dx$ 처럼 끝점에 특이성이 있으면 오차가 $h^{3/2}$ 같은 비정수 거듭제곱으로 시작해 롬베르그가 기대한 차수를 못 낸다(나보트(1961)의 확장이 이런 비정수 거듭제곱 항까지 전개한다). 피적분함수 꼴을 모르고 롬베르그를 돌리면 관측 차수를 반드시 확인할 것³.

7. 관련 문서

• 수치적분 · 롬베르그 적분 · 리처드슨 외삽법 · 심프슨 공식 · 격자 수렴 지수
• 점근 급수 · 테일러 급수 · 감마 함수 · 아이켄 델타제곱법 · 섕크스 변환
• 스펙트럴 방법 · 푸리에 변환 · 체비쇼프 다항식
• 베르누이 수 · 리만 제타 함수 · 푸아송 합 공식

8. Footnotes

1. 사다리꼴 공식을 수치해석 첫 주에 배우고 버리는 게 국룰인데, 주기 문제에서는 그 버린 공식이 최종 보스다. 트레페텐 논문 제목부터가 「지수 수렴하는 사다리꼴 공식」이다. ↩

2. 오일러는 $\pi^2/6$ 을 증명하기 전에 숫자로 먼저 알아봤다. 일단 돌려 보고 나중에 증명하는 공대식 워크플로의 원조. 증명은 그 뒤에 무한곱으로 따로 했다. ↩

3. 끝점 특이성이 있는 적분에 롬베르그를 걸고 「왜 수렴이 2차밖에 안 나오지」라며 격자만 늘리는 것은 현생 낭비다. 변수 치환(예: $x = t^2$)으로 특이성을 먼저 없애거나, tanh-sinh 같은 이중 지수 구적으로 갈아탄다. ↩