점근 급수

1. 개요

점근 급수 Asymptotic Series
정의	항 수 N 을 고정하고 x → x0 로 보낼 때 나머지가 마지막 항보다 빨리 작아지는 급수
정식화	푸앵카레, 1886
수렴과의 차이	수렴은 x 고정·N → ∞, 점근은 N 고정·x → x0
최적 절단	가장 작은 항 근처에서 끊는다. 오차는 대개 e−c/x 꼴
대표 예	스털링 급수, 오일러 급수, 오일러-매클로린 나머지, QED 섭동 급수
재합산	보렐 재합산, 파데·섕크스

끝까지 더하면 터지는데, 적당히 끊으면 소수점 열 자리가 맞는다. 수학이 허락한 유일한 “대충 하다 말기”.

점근 급수(asymptotic series)는 함수 $f(x)$ 를 $x \to x_0$ 근처에서 근사하는 급수 $\sum a_n \varphi_n(x)$ 로, 항 수 $N$ 을 고정한 채 $x$ 를 $x_0$ 로 보낼 때 나머지가 마지막으로 남긴 항보다 빨리 작아지는 것을 말한다. 급수가 수렴할 필요는 없다. 실제로 물리·공학에서 만나는 중요한 점근 급수 상당수는 모든 $x$ 에서 발산한다.

수렴 급수와 점근 급수는 극한을 거는 방향이 다르다. 수렴은 ”$x$ 를 고정하고 $N \to \infty$” 이고 점근은 ”$N$ 을 고정하고 $x \to x_0$” 이다. 그래서 발산하는 점근 급수도 몇 항만 쓰면 수렴 급수보다 훨씬 빨리 정확한 값을 주는 일이 흔하다. 감마 함수의 스털링 공식, 특수함수 라이브러리의 큰 인자 전개, 특이 섭동의 정합 점근 전개, 라플라스 근사가 모두 이 부류다.

이 개념을 엄밀하게 정의한 사람은 푸앵카레(1886)다. 그 전까지 오일러·스털링·르장드르는 발산 급수를 실용적으로 마구 썼고, 19세기 중반 코시·아벨 이후의 엄밀주의는 그것을 금지했다. 푸앵카레의 정의가 둘을 화해시켰다 — 발산해도 정확히 무엇을 보장하는지 말할 수 있게 된 것이다.

2. 정의

$x \to x_0$ 에서 $\varphi_{n+1}(x) = o(\varphi_n(x))$ 인 함수열(점근열, 예: $x^n$, $x \to 0$)에 대해

$$f(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty} a_n \varphi_n(x) \quad (x \to x_0)$$

는 모든 $N$ 에 대해

$$f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_n(x) = O\bigl(\varphi_N(x)\bigr) \quad (x \to x_0)$$

이 성립한다는 뜻이다. 우변의 기호가 $=$ 가 아니라 $\sim$ 이라는 점이 핵심이다. 급수의 합이 $f$ 라는 주장이 아니다.

두 가지 기본 성질이 따라온다.

• 유일성: 함수 $f$ 와 점근열이 정해지면 계수 $a_n$ 은 유일하다. $a_0 = \lim f/\varphi_0$, 그다음 차례로 뽑으면 된다.
• 역은 성립하지 않음: 한 급수가 여러 함수의 점근 급수일 수 있다. $x \to 0^+$ 에서 $e^{-1/x}$ 는 모든 거듭제곱 $x^n$ 보다 빨리 0으로 가므로 점근 급수가 $0 + 0 + 0 + \cdots$ 이다. 따라서 $f$ 와 $f + e^{-1/x}$ 는 같은 점근 급수를 갖는다. 거듭제곱 급수에 안 보이는 이런 항을 물리에서는 비섭동 효과라 부른다¹.

3. 오일러 급수 — 발산하는데 쓸모 있다

스틸체스 함수

$$F(x) = \int_0^\infty \frac{e^{-t}}{1 + xt}\,dt$$

에서 $1/(1+xt) = \sum (-xt)^n$ 으로 전개하고 항별 적분하면 $\int_0^\infty t^n e^{-t}\,dt = n!$ 이므로

$$F(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\, n!\, x^n = 1 - x + 2x^2 - 6x^3 + \cdots$$

를 얻는다. 기하급수 전개는 $t < 1/x$ 에서만 맞으니 항별 적분은 반칙이지만, 반칙의 대가는 $e^{-1/x}$ 크기로 작아서 점근 급수로서는 정당하다. 계수가 $n!$ 으로 자라므로 수렴 반경은 0 이다. 이 함수는 지수 적분으로 $F(x) = x^{-1} e^{1/x} E_1(1/x)$ 와 같다.

$x = 0.1$ 에서 정확한 값은 $F = 0.915633339398\ldots$ 다. 부분합 $S_N = \sum_{n=0}^{N} (-1)^n n!\,x^n$ 의 오차를 40자리로 재면:

$N$	0	2	4	6	8	9	10	12	15	20	25	30
오차	$8.4\times10^{-2}$	$4.4\times10^{-3}$	$7.7\times10^{-4}$	$2.9\times10^{-4}$	$1.9\times10^{-4}$	$1.8\times10^{-4}$	$1.9\times10^{-4}$	$2.7\times10^{-4}$	$7.9\times10^{-4}$	$1.6\times10^{-2}$	$1.1$	$199$

오차는 $N = 9$ 에서 최소 $1.77\times10^{-4}$ 를 찍은 뒤 다시 커져서 $N = 30$ 에서는 199 — 값 자체의 200배 — 로 폭발한다. 끊을 자리를 잘 고르는 것이 전부다.

3.1. 최적 절단

항의 크기 $n!\,x^n$ 은 $n \approx 1/x$ 에서 최소가 되고, 스털링 공식으로 그 크기는 $\sqrt{2\pi/x}\, e^{-1/x}$ 다. 이 근처에서 끊으면 오차가 대략 최소 항의 절반,

$$\lvert F(x) - S_{N^*}\rvert \approx \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\; e^{-1/x}$$

가 된다. 실측과 맞춰 보면:

$x$	최적 $N$	실측 최소 오차	$\sqrt{\pi/2x}\,e^{-1/x}$
0.2	4	$1.83\times10^{-2}$	$1.89\times10^{-2}$
0.1	9	$1.77\times10^{-4}$	$1.80\times10^{-4}$
0.05	19	$1.146\times10^{-8}$	$1.155\times10^{-8}$

오차가 $x$ 의 거듭제곱이 아니라 $e^{-1/x}$ 로 줄어든다. 이것을 베리는 「초점근」(superasymptotic) 정확도라 불렀다. $x$ 가 작을수록 놀랄 만큼 정확하지만, 주어진 $x$ 에서 그 이상은 원리적으로 못 얻는다 — 남은 오차가 바로 위에서 말한 $e^{-1/x}$ 크기의 「급수에 안 보이는 부분」이기 때문이다.

이 급수는 스틸체스 급수라서 보너스가 하나 더 있다. 오차가 첫 번째로 버린 항보다 작고 부호도 같다. $N = 9$ 의 오차 $1.77\times10^{-4}$ 는 버린 항 $10!\times10^{-10} = 3.63\times10^{-4}$ 보다 작다. 즉 오차 상한이 계산 가능한 형태로 주어진다. 일반 점근 급수에는 이런 보장이 없다.

4. 스털링 급수

감마 함수의 로그는

$$\ln\Gamma(x) \sim \Bigl(x - \tfrac12\Bigr)\ln x - x + \tfrac12\ln(2\pi) + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{2k(2k-1)\,x^{2k-1}}$$

로 전개된다($B_{2k}$ 는 베르누이 수, $B_2 = 1/6$, $B_4 = -1/30$, …). 베르누이 수가 $\lvert B_{2k}\rvert \sim 4\sqrt{\pi k}\,(k/\pi e)^{2k}$ 로 자라서 역시 모든 $x$ 에서 발산한다. 그런데도 실측은 이렇다.

$x$	주항만	보정 1항	보정 2항	최적 항 수	최소 오차
1	$8.1\times10^{-2}$	$2.3\times10^{-3}$	$5.1\times10^{-4}$	3	$2.9\times10^{-4}$
2	$4.1\times10^{-2}$	$3.3\times10^{-4}$	$2.1\times10^{-5}$	7	$3.9\times10^{-7}$
5	$1.7\times10^{-2}$	$2.2\times10^{-5}$	$2.5\times10^{-7}$	16	$1.6\times10^{-15}$

$x = 5$ 에서 보정항 16개면 배정밀도 끝까지 맞는다². $x = 1$ 처럼 “점근”이라 부르기 민망한 곳에서도 보정 1항이면 $\ln\Gamma$ 오차가 $0.002$ 다. 실무 라이브러리는 작은 $x$ 를 점화식 $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$ 로 큰 $x$ 쪽에 밀어 놓고 이 급수를 몇 항만 쓴다.

5. 수치해석이 몰래 기대는 점근 급수

5.1. 오일러-매클로린과 외삽

사다리꼴 공식의 오차 전개

$$T(h) - \int_a^b f\,dx \sim c_1 h^2 + c_2 h^4 + c_3 h^6 + \cdots$$

는 오일러-매클로린 공식에서 나오는데, 계수가 베르누이 수와 $f$ 의 고계 도함수로 이뤄져 일반적으로 발산한다. 리처드슨 외삽법과 롬베르그 적분은 이 전개의 앞 몇 항을 지워서 정확도를 올리는 기법이므로, 수렴이 아니라 점근성만 필요하다. 피적분함수의 고계 도함수가 빠르게 자라거나(특이점이 적분 구간 가까이 있는 경우) 끝점에서 매끄럽지 않으면 롬베르그 표를 깊이 팔수록 정확도가 오히려 나빠지는데, 이것은 반올림만의 탓이 아니다 — 점근 전개를 너무 멀리 믿은 것이다.

같은 논리로 격자 수렴 지수(GCI)는 이산화 오차가 $Ch^p$ 로 시작하는 점근 영역에 격자가 들어와 있다는 가정 위에 있다. 세 격자에서 잰 관측 차수가 이론 차수와 안 맞으면 “아직 점근 영역이 아니다”라고 말하는데, 이 문장의 정확한 수학적 의미가 위의 푸앵카레 정의다.

5.2. 특수함수의 큰 인자 전개

$\mathrm{erfc}(x) \sim \dfrac{e^{-x^2}}{x\sqrt\pi}\Bigl(1 - \dfrac{1}{2x^2} + \dfrac{3}{4x^4} - \cdots\Bigr)$ 같은 큰 인자 전개는 거의 모든 수학 라이브러리 안에 들어 있다. 작은 $x$ 에서는 수렴하는 테일러 급수·연분수를 쓰고, 어떤 경계값 위에서는 점근 급수로 갈아탄다. 경계값은 “최적 절단 오차가 목표 정밀도 밑으로 내려가는 가장 작은 $x$” 로 정한다. 즉 위의 최적 절단 분석이 그대로 라이브러리 설계 기준이다.

5.3. 점근 급수를 만드는 공장

• 부분적분 반복 — 위 오일러 급수, $\mathrm{erfc}$, 지수 적분 $E_1$ 의 표준 유도.
• 왓슨 보조정리 / 라플라스 방법 — $\int e^{-\lambda \phi(t)} g(t)\,dt$ 의 $\lambda \to \infty$ 전개. 최고점 근처의 테일러 계수가 급수 계수가 된다. 라플라스 근사는 이 급수의 첫 항이다.
• 안장점·정상 위상법 — 복소 적분판. 파동 전파의 고주파 근사가 여기서 나온다.
• WKB·다중척도법·정합 점근 전개 — 미분방정식 쪽 공장. 특이 섭동 문서가 경계층 예제로 자세히 다룬다.

6. 재합산 — 발산 급수에서 값을 되찾기

최적 절단의 $e^{-1/x}$ 벽을 넘으려면 급수를 다른 방식으로 「합」해야 한다.

• 보렐 재합산: 계수를 $n!$ 로 나눈 보렐 변환 $B(t) = \sum a_n t^n / n!$ 을 만들고 $\int_0^\infty e^{-t} B(xt)\,dt$ 로 되돌린다. 오일러 급수에서는 $B(t) = \sum (-t)^n = 1/(1+t)$ 이라 원래 함수 $F(x)$ 가 정확히 돌아온다. $B$ 가 양의 실수축에 특이점을 가지면 적분 경로를 위아래로 비켜 가야 하고 그 선택에 따라 허수부가 갈린다 — 이 모호성이 바로 $e^{-1/x}$ 크기의 비섭동 항과 짝을 이룬다.
• 파데 근사·섕크스 변환: 부분합에서 유리함수를 맞춘다. 섕크스 변환 문서가 오일러 급수 $\sum(-1)^k k!$ 의 부분합 21개에서 곰페르츠 상수 $0.59634\ldots$ 를 $3\times10^{-5}$ 까지 되찾는 실측을 싣고 있다. 스틸체스 급수에서는 대각 파데가 수렴한다는 정리가 있다.
• 초점근을 넘어서: 최적 절단 뒤에 남은 나머지를 다시 점근 전개해 오차를 $e^{-2/x}$ 대로 내리는 베리·하울스의 「초점근 너머(hyperasymptotics)」 전개가 있다. 이 과정에서 스토크스 선을 지날 때 지수적으로 작은 항이 매끄럽게 켜지는 스토크스 현상이 정량적으로 설명된다.

7. 물리의 섭동 급수

양자전기역학의 섭동 급수는 미세구조 상수 $\alpha \approx 1/137$ 의 거듭제곱 급수인데, 다이슨(1952)은 이 급수의 수렴 반경이 0이라고 논증했다. $\alpha < 0$ 인 가상의 세계에서는 같은 전하끼리 끌어당겨 진공이 불안정해지므로, $\alpha = 0$ 에서 해석적일 수 없다는 것이다. 계수가 $n!$ 꼴로 자라면 항이 가장 작아지는 차수가 $n \sim 1/\alpha$ 근처이므로, 대략 137차 근처까지는 항을 더할수록 정확해진다는 어림이 나온다³. 실측 가능한 차수(현재 5루프 정도)는 그보다 한참 앞이라 실용상 문제가 없다.

비조화 진동자 $x^4$ 섭동, 이중우물의 바닥상태 에너지 갈라짐(터널링 항 $e^{-c/g}$ 이 섭동 급수에 전혀 안 보인다), 임계 지수의 $\varepsilon$-전개(재규격화군)가 모두 발산 점근 급수이고, 보렐-파데 재합산으로 수치를 뽑는 것이 표준 절차다.

8. 관련 문서

• 특이 섭동 · 다중척도법 · 라플라스 근사 · 재규격화군
• 섕크스 변환 · 파데 근사 · 테일러 급수 · 보렐 재합산
• 리처드슨 외삽법 · 롬베르그 적분 · 오일러-매클로린 공식 · 격자 수렴 지수
• 감마 함수 · 수치적분

9. Footnotes

1. 섭동론으로 아무리 갈아넣어도 안 나오는 터널링·인스턴톤 효과가 정확히 이 $e^{-1/g}$ 꼴이다. 급수 입장에서는 “존재하지 않는” 항인데 현실에서는 존재한다. 테일러 계수 0개짜리 함수가 세상을 바꾸는 킹받는 상황. ↩

2. 정작 스털링 본인(1730)이 낸 건 $\ln n!$ 의 급수이고, 오늘 「스털링 공식」이라 부르는 $\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n$ 의 앞부분은 드무아브르와 함께 만든 결과다. 상수 $\sqrt{2\pi}$ 를 찾아낸 게 스털링 쪽이라 이름은 그쪽이 가져갔다. ↩

3. 다이슨 논증은 엄밀한 증명이라기보다 물리적 직관에 가깝지만 결론은 이후 여러 모형에서 확인됐다. “137차까지 계산해야 문제가 생긴다”는 말은 현생 QED 연구자에게 “은퇴 후의 일”과 동의어다. ↩