모드 해석

1. 개요

모드 해석 Modal Analysis
다른 이름	고유치 해석, 진동 모드 해석
분야	구조동역학 × 선형대수
푸는 것	고유진동수 ω, 모드 형상 φ
수학적 본질	일반화 고유치 문제
주 기법	유한요소법

세상 모든 구조물은 자기가 좋아하는 주파수가 있다. 문제는 그걸 밖에서 때려줄 때 생긴다.

모드 해석(modal analysis)은 구조물이 스스로 진동할 때 나타나는 고유진동수(natural frequency)와 모드 형상(mode shape)을 구하는 해석이다. 외력 없이 구조물을 살짝 건드렸을 때 “이 구조는 이런 주파수에서 이런 모양으로 흔들린다”를 알려주는 것이 목적. 다리를 건너는 병사들이 발을 맞춰 행진하면 안 되는 이유¹가 바로 이 모드 해석 안에 들어 있다.

정적 해석이 “얼마나 휘느냐”를 본다면, 모드 해석은 “어떤 리듬으로 떨리느냐”를 본다. 회전기계, 차량 차체, 항공기 날개, 고층 빌딩, 심지어 스마트폰의 진동모터 설계까지 — 무언가 흔들릴 수 있는 물건이라면 거의 예외 없이 이 해석을 거친다.

2. 수학적 정식화

감쇠가 없는 자유진동(free vibration)을 생각하자. 유한요소법으로 이산화한 운동 방정식에서 외력 $\mathbf{f}$와 감쇠 항을 지우면 다음이 남는다.

$$\mathbf{M}\ddot{\mathbf{u}} + \mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{0}$$

여기서 $\mathbf{M}$은 질량 행렬, $\mathbf{K}$는 강성 행렬이다. 해가 조화진동 $\mathbf{u}(t) = \boldsymbol{\phi}\,e^{i\omega t}$ 형태라고 가정하고 대입하면, 시간 항이 소거되면서 우리가 원하던 일반화 고유값 문제(generalized eigenvalue problem)가 튀어나온다.

$$(\mathbf{K} - \omega^2 \mathbf{M})\,\boldsymbol{\phi} = \mathbf{0}$$

이 식이 자명하지 않은($\boldsymbol{\phi} \neq \mathbf{0}$) 해를 가지려면 계수 행렬의 행렬식이 0이어야 한다.

$$\det(\mathbf{K} - \omega^2 \mathbf{M}) = 0$$

이 특성방정식의 근이 고유진동수의 제곱 $\omega^2$이고, 각 근에 대응하는 벡터 $\boldsymbol{\phi}$가 모드 형상이다. 자유도가 $n$개인 계는 이론적으로 $n$개의 모드를 갖지만, 실무에서 관심 있는 것은 대개 낮은 쪽 몇 개뿐이다. 높은 모드는 에너지가 크고 잘 여기되지도 않기 때문.²

2.1. 연속체와의 대조: 외팔보

행렬 고유치 문제의 답이 맞는지 보려면 해석해가 있는 문제와 맞춰 보는 게 제일 빠르다. 균일 단면 외팔보(한쪽 고정, 한쪽 자유)의 오일러-베르누이 진동은 특성방정식 $\cos\beta L \cosh\beta L + 1 = 0$ 의 근으로 닫힌 형태를 갖는다.

$$\omega_n = (\beta_n L)^2 \sqrt{\frac{EI}{\rho A L^4}}$$

근을 이분법으로 직접 풀면 다음과 같다(배정도 수렴).

모드	$\beta_n L$	$(\beta_n L)^2$	$f_n/f_1$
1차	1.875104	3.5160	1
2차	4.694091	22.0345	6.267
3차	7.854757	61.6972	17.548

모드 간격이 등차가 아니라는 점이 중요하다. 기타 줄(단순지지에 가까운 경우)은 $(n\pi)^2$ 이라 진동수가 1 : 4 : 9 로 깔끔하게 올라가는데, 외팔보는 1 : 6.27 : 17.5 다. 그래서 “2배음” 같은 직관을 구조물에 그대로 옮기면 틀린다.³

3. 질량 행렬과 강성 행렬

모드 해석의 결과를 좌우하는 두 주인공은 $\mathbf{M}$과 $\mathbf{K}$다.

• 강성 행렬 $\mathbf{K}$ — 구조가 얼마나 뻣뻣한지를 담는다. 재료의 탄성계수와 형상이 뻣뻣할수록 값이 커지고, 고유진동수도 올라간다.
• 질량 행렬 $\mathbf{M}$ — 구조가 얼마나 무거운지를 담는다. 무거울수록 고유진동수는 내려간다. 대각화된 집중질량(lumped mass) 방식과, 형상함수로부터 유도되는 일관질량(consistent mass) 방식이 있다.

정성적으로 고유진동수는 $\omega \sim \sqrt{k/m}$의 스케일을 따른다. 즉 뻣뻣할수록 높고, 무거울수록 낮다. 기타 줄을 팽팽하게 조이면(강성 증가) 음이 높아지고, 굵은 줄(질량 증가)일수록 음이 낮은 것과 정확히 같은 원리다.

3.1. 집중질량과 일관질량은 정확해를 양쪽에서 조인다

둘 중 무엇을 쓰느냐는 취향 문제가 아니다. 고정-자유 축방향 봉($E=\rho=A=L=1$, 해석해 $\omega_n = (2n-1)\pi/2$)을 요소 수를 늘려 가며 양쪽 질량 행렬로 풀어 보면 부호가 갈린다.

요소 수	일관질량 1차	집중질량 1차	일관질량 2차	집중질량 2차
4	+0.644%	−0.641%	+5.832%	−5.683%
8	+0.161%	−0.161%	+1.451%	−1.439%
16	+0.040%	−0.040%	+0.362%	−0.361%
32	+0.010%	−0.010%	+0.090%	−0.090%

일관질량은 항상 위로, 집중질량은 항상 아래로 틀린다. 일관질량이 상계(upper bound)를 주는 것은 변분적으로 보장된 성질이고, 집중질량은 요소 안의 질량을 절점으로 끌어모아 관성을 과대평가하는 쪽이라 진동수를 낮춘다. 수렴 차수는 둘 다 $O(h^2)$ 로, 요소를 2배로 늘릴 때마다 오차가 4분의 1이 된다(0.644 → 0.161 → 0.040 → 0.010).

재미있는 것은 오차가 거의 반대칭이라는 점이다. 요소 8개에서 1차 진동수는 일관질량 1.573321, 집중질량 1.568274인데 둘의 평균은 1.570798이고 정확해는 1.570796 — 상대오차 $1.3\times10^{-6}$ 으로, 각각의 오차 $1.6\times10^{-3}$ 보다 세 자리가 좋다. 공짜로 세 자리를 벌 수 있다는 뜻이지만, 반대칭성이 보장된 성질은 아니므로 실무에서 이걸 믿고 요소를 줄이면 안 된다.⁴

모드 형상은 보통 질량 행렬에 대해 정규화(mass normalization)한다. 즉 $\boldsymbol{\phi}_i^\top \mathbf{M} \boldsymbol{\phi}_j = \delta_{ij}$가 되도록 크기를 맞춘다. 이렇게 하면 서로 다른 모드끼리 질량 행렬에 대해 직교(orthogonal)한다는 아름다운 성질이 성립하고, 이후 응답 해석에서 계가 서로 독립인 1자유도 진동자들의 합으로 깔끔하게 분리된다.

4. 감쇠의 처리

현실의 구조물은 에너지를 소산시키는 감쇠(damping)를 갖는다. 하지만 감쇠까지 정직하게 넣으면 고유치가 복소수가 되고 모드 형상도 복소수가 되어 계산이 지저분해진다. 그래서 실무는 대개 두 갈래로 타협한다.

• 비감쇠 해석(undamped) — 감쇠 행렬 $\mathbf{C}$를 아예 무시한다. 고유진동수만 알면 되는 대부분의 설계 검토는 여기서 끝난다. 감쇠가 고유진동수를 바꾸는 효과는 보통 무시할 만큼 작기 때문이다. 단자유도계의 감쇠 진동수는 $\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ 이므로, 감쇠비 $\zeta$ = 1%에서 진동수 차이가 0.005%, 2%에서 0.020%, 5%에서 0.125%, 10%에서 0.501% 다. 강구조의 통상 범위(1~5%)에서는 측정 오차보다 작으니 무시해도 된다는 말이 과장이 아니다. 반대로 $\zeta$ = 20%쯤 되는 감쇠장치가 붙은 구조는 2.02%로 벌어지므로 그때는 무시하면 안 된다.
• 비례감쇠(proportional damping) — 감쇠 행렬을 질량과 강성의 선형 결합으로 가정한다. 레일리 감쇠(Rayleigh damping)라고도 부른다.

$$\mathbf{C} = \alpha \mathbf{M} + \beta \mathbf{K}$$

비례감쇠의 장점은 $\mathbf{C}$가 실수 모드 형상에 대해서도 대각화된다는 점이다. 덕분에 감쇠가 있어도 모드끼리 여전히 분리되어 각 모드를 독립적인 감쇠 진동자로 다룰 수 있다. 모드 $i$ 의 감쇠비는 다음 꼴이 된다.

$$\zeta_i = \frac{\alpha}{2\omega_i} + \frac{\beta \omega_i}{2}$$

계수 $\alpha$, $\beta$는 두 개의 기준 주파수에서 원하는 감쇠비를 맞추도록 역산해서 정한다. 그런데 이 역산에는 사람들이 자주 데는 함정이 있다. 1 Hz와 10 Hz에서 $\zeta$ = 2%를 맞추도록 풀면 $\alpha$ = 0.228479, $\beta$ = 5.7875×10⁻⁴ 이 나오는데, 이 값으로 다른 주파수의 감쇠비를 다시 계산하면 이렇게 된다.

주파수	0.5 Hz	1 Hz	3.162 Hz	10 Hz	20 Hz	50 Hz	100 Hz
$\zeta$	3.73%	2.00%	1.15%	2.00%	3.73%	9.13%	18.20%

두 기준점 사이에서는 목표보다 작고(최솟값은 기하평균 $\sqrt{f_1 f_2}$ = 3.162 Hz에서 1.15%), 밖에서는 급격히 커진다. 100 Hz에서 18.2%는 사실상 그 모드를 지워 버리는 수준이다. 질량비례 항($\alpha$)은 저주파를, 강성비례 항($\beta$)은 고주파를 과도하게 감쇠시키기 때문이다. 고주파 성분이 중요한 충격·접촉 문제에서 레일리 감쇠를 무심코 쓰면 응답이 조용히 사라진다 — 지진공학에서 이 오용이 반복적으로 지적돼 온 이유다. 특히 강성비례 항을 초기 강성으로 만들어 둔 뒤 비선형 연화(softening) 해석에 그대로 쓰면, 강성이 줄어든 뒤에도 감쇠력만 그대로 남아 복원력에 비해 비현실적으로 커진다. 결과가 위험측(unconservative)으로 나오는 전형적인 경로다.⁵

5. 공진과 실무적 의미

모드 해석이 밥값을 하는 순간은 공진(resonance)을 예방할 때다. 외부 가진 주파수가 구조의 고유진동수에 접근하면 진폭이 폭발적으로 커지고, 감쇠가 작을수록 그 폭발은 더 극적이다. 설계자의 임무는 간단하다. 작동 주파수 대역과 고유진동수를 떨어뜨려 놓는 것.

• 회전기계 — 모터·펌프·터빈의 회전수(rpm)에서 나오는 가진 주파수가 축이나 케이싱의 고유진동수와 겹치면 진동과 소음이 폭증한다. 위험 회전수(critical speed)를 피해 설계하거나 빠르게 통과시킨다. 회전에 따라 강성과 자이로스코프 효과가 변해 고유진동수 자체가 회전수의 함수가 되는 영역은 회전체 동역학이 따로 다룬다.
• 차량 — 엔진 아이들링 진동, 노면 입력, 파워트레인 진동이 차체 패널의 고유진동수를 때리면 부밍 소음이 된다. NVH(소음·진동·불쾌감) 엔지니어의 주 무대다.
• 토목 구조 — 보행자 하중, 바람, 지진의 주파수 성분이 교량·건물의 고유진동수와 겹치지 않도록 한다. 런던 밀레니엄 브리지가 2000년 6월 10일 개통하고 이틀 만인 6월 12일 폐쇄된 사건이 유명한 반면교사다.⁶

지진처럼 가진을 시간이력으로 특정할 수 없는 하중에는, 뽑아 놓은 모드마다 최대 응답을 설계 스펙트럼에서 읽고 SRSS·CQC로 합치는 응답 스펙트럼 해석이 표준 절차다. 모드 해석이 그 입력을 만들어 주는 셈이다. 어느 모드를 몇 개까지 챙겨야 하는지는 모드 참여 계수로 판정하며(누적 유효질량 90%가 흔한 기준), 가진이 확률 과정으로만 주어지면 랜덤 진동 해석으로 넘어간다. 시간이력을 직접 적분해야 할 때는 뉴마크법 같은 직접 적분법과 저울질한다.

가진 주파수를 쓸어 가며 정상상태 응답의 크기와 위상을 보는 주파수 응답 해석은 모드 해석의 자연스러운 다음 단계다. 유체가 얽히면 부가질량이 $\mathbf{M}$ 을 바꾸고, 공기력이 모드 사이에 에너지를 옮기기 시작하면 플러터·항공탄성학과 유체-구조 연성 문제가 된다.

여기서 자주 엮이는 것이 좌굴 해석이다. 둘 다 수학적으로는 유한요소법으로 조립한 행렬의 고유치 문제라는 공통 뿌리를 갖는다. 다만 모드 해석은 질량-강성 쌍의 고유치를, 좌굴 해석은 강성-기하강성 쌍의 고유치를 푼다는 점이 다르다.

6. 실험 모달 테스트

수치 해석이 아무리 정교해도 실물이 진짜 그렇게 떠는지는 두들겨 봐야 안다. 이것이 실험 모달 테스트(experimental modal analysis, EMA)다.

전형적인 방법은 임팩트 해머(impact hammer)로 구조물을 정확히 한 번 때리고, 여기저기 붙인 가속도계로 응답을 받아 주파수 응답 함수(FRF)를 측정하는 것이다. FRF의 봉우리가 고유진동수, 봉우리의 예리함이 감쇠, 여러 지점의 위상 관계가 모드 형상을 알려준다. 큰 구조물에는 해머 대신 가진기(shaker)를 쓴다.

큰 구조물 전체를 대상으로 하는 경우는 지상진동시험(GVT)처럼 별도의 시험 체계로 올라간다.

실험과 해석 결과를 맞춰 보는 것을 모델 상관(model correlation) 또는 모델 갱신(model updating)이라 부르며(시스템 식별과 같은 뿌리다), 두 모드 형상이 얼마나 닮았는지는 MAC(Modal Assurance Criterion) 지표로 정량화한다. 두 모드 벡터 $\boldsymbol{\phi}_a$, $\boldsymbol{\phi}_x$ 에 대해

$$\mathrm{MAC}(a,x) = \frac{\left| \boldsymbol{\phi}_a^{\mathsf H}\boldsymbol{\phi}_x \right|^2}{\left(\boldsymbol{\phi}_a^{\mathsf H}\boldsymbol{\phi}_a\right)\left(\boldsymbol{\phi}_x^{\mathsf H}\boldsymbol{\phi}_x\right)}$$

로 정의된다. 꼴을 보면 알 수 있듯 크기에 무관한 상관계수(코히런스와 같은 구조)라서 0과 1 사이에 들어오고, 모드 형상의 정규화 방식에 영향받지 않는다. MAC이 1에 가까우면 해석과 실험이 사이좋게 악수한 것이고, 0.6쯤 나오면 회의실 공기가 싸늘해진다.⁷ 다만 MAC은 선형 상관만 본다 — 측정 자유도가 적거나 두 모드가 공간적으로 비슷하면 서로 다른 모드끼리도 높은 값이 나올 수 있어서, 이 지표를 과신하는 것은 고전적인 오용 사례로 꼽힌다.⁸

7. 관련 문서

• 구조해석 · 비선형 구조해석 · 강성행렬
• 유한요소법 · 고유값 문제 · 란초스 알고리즘
• 좌굴 · 감쇠 · 뉴마크법
• 주파수 응답 해석 · 응답 스펙트럼 해석 · 지상진동시험
• 플러터 · 항공탄성학 · 유체-구조 연성 · 회전체 동역학
• 시스템 식별

8. Footnotes

1. 이걸 공진 붕괴로 오해하는 경우가 많은데, 실제로는 편심 하중과 구조 결함이 더 큰 원인이었다는 분석도 있다. 그래도 “발맞춰 행진 금지” 군 규정은 지금도 살아 있다. 물리학보다 규정이 오래 산다. ↩

2. 그래서 솔버는 전체 고유치를 다 구하지 않고 란초스 알고리즘이나 부분공간 반복(subspace iteration) 같은 방법으로 낮은 쪽 몇 개만 뽑아낸다. 상용 구조 솔버의 표준은 이동 블록 란초스(shifted block Lanczos)로, 희소행렬 분해와 이동(shift)을 번갈아 쓰면서 원하는 주파수 구간의 모드만 골라낸다. 전 자유도의 고유치를 다 구하겠다고 덤비면 슈퍼컴퓨터도 울면서 도망간다. ↩

3. 외팔보 2차 모드가 1차의 6.27배라는 건 “1차를 10 Hz로 설계했으면 2차는 63 Hz쯤”이라는 뜻이다. 작동 대역이 넓은 기계에서 1차만 피해 놓고 안심하면 2차에서 만나게 된다. 참고로 1차 근 1.875104는 흔히 1.8751로 반올림해 쓰는데, $(\beta L)^2$ 로 제곱하면 반올림 오차가 2배로 증폭되니 자릿수를 아끼지 말 것. ↩

4. 두 질량 행렬을 평균하는 아이디어 자체는 실제로 쓰인다(HRZ 계열의 혼합 질량). 다만 “정확히 절반”이 최적인 것은 이 1차원 봉 문제의 우연에 가깝고, 요소 종류와 모드 차수가 바뀌면 최적 가중은 달라진다. 공짜 점심에는 늘 조건이 붙는다. ↩

5. 흔한 대응은 (1) 관심 주파수 대역의 양 끝을 기준점으로 잡아 그 안에서만 오차를 감수하기, (2) $\beta$ 를 0으로 두고 질량비례만 쓰기, (3) 모드별로 감쇠비를 직접 지정하는 모드 감쇠로 갈아타기다. 세 번째가 제일 정직한데, 비선형 해석에서는 모드가 정의되지 않아 쓸 수 없다는 게 함정. ↩

6. 원인은 보행자의 좌우 흔들림과 다리의 횡방향 모드가 맞물린 동기화 현상(synchronous lateral excitation)이었다. 사람들이 무의식적으로 다리의 흔들림에 발을 맞추면서 가진이 스스로 커진 것. 다리가 사람을 춤추게 만들었다. 설계팀이 낸 보고서의 결론이 더 무섭다 — 이 현상은 그 다리의 혁신적 구조 때문이 아니고, 횡방향 고유진동수가 약 1.3 Hz 이하인 교량이라면 보행자가 충분히 많기만 하면 어디서든 일어난다. 해결은 고유진동수를 옮기는 게 아니라 점성 감쇠기와 동조질량감쇠기를 달아 감쇠비를 임계의 20% 이상으로 끌어올리는 쪽이었다. 즉 모드를 피할 수 없을 때 남는 손은 감쇠다. ↩

7. MAC이 낮으면 대개 경계 조건 모델링이 범인이다. 실험에서 “고정”이라고 믿은 지점이 사실은 살짝 움직이고 있었다는 진실은, 언제나 마감 3일 전에 밝혀진다. ↩

8. MAC을 처음 제안한 사람(R. J. Allemang)이 20년 뒤에 쓴 글의 제목이 「Twenty Years of Use and Abuse」다. 지표를 만든 사람이 직접 오용 사례를 정리해야 할 정도였다는 뜻. ↩