리처드슨 외삽법

1. 개요

리처드슨 외삽법 Richardson Extrapolation
제안	1911년, Lewis Fry Richardson
목적	낮은 차수 근사해를 조합해 고차 정확도 확보
대표 응용	롬베르그 적분, 격자 수렴 지수(GCI)

격자를 두 번 돌리는 게 귀찮으면, 한 번 더 돌리고 머리를 좀 써서 두 배 이득을 보는 방법이다.

리처드슨 외삽법(Richardson extrapolation)은 서로 다른 이산화 간격(격자 크기, 적분 구간, 시간 스텝 등)에서 얻은 두 개 이상의 근사해를 대수적으로 조합해, 원래 기법의 이론적 오차 차수보다 한 단계 높은 정확도의 해를 추정하는 외삽 기법이다. 전산유체역학 문서에서도 언급되듯 1922년 “수계산 일기예보”라는 무모한 꿈을 꿨던 루이스 프라이 리처드슨이, 정작 그보다 먼저인 1911년에 훨씬 실용적인 이 외삽법을 발표했다는 사실은 잘 안 알려져 있다.¹ 정작 이 사람의 이름이 오늘날 가장 많이 불리는 곳은 일기예보가 아니라 전산유체역학·구조해석 논문의 격자 수렴성 검증 절에서다.

주의할 것은 이 문서가 다루는 범위다. 리처드슨 외삽법은 그 자체로 수치해석 전반에 걸친 범용 가속 기법이며, 여기서는 그 수학적 원리와 적분·미분·격자 문제에 걸친 일반적 적용을 다룬다. 반면 이 기법을 CFD/FEA의 격자 수렴 보고에 표준화해 안전계수까지 정한 구체적 절차는 격자 수렴 지수(GCI) 문서에 별도로 정리되어 있으니, “격자를 몇 개 돌려서 오차를 몇 %라고 보고해야 하는가”가 궁금하면 그쪽으로 넘어가는 게 빠르다.

2. 수학적 원리

수치 기법의 근사해 $f(h)$가 참값 $f_{\text{exact}}$에 격자 간격 $h$의 거듭제곱으로 수렴한다고 하자. 테일러 급수 전개를 통해 이는 일반적으로 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다.

$$f(h) = f_{\text{exact}} + \alpha h^{p} + O(h^{p+1})$$

여기서 $p$는 기법의 수렴 차수, $\alpha$는 알 수 없는 상수다. 간격 $h$와 $rh$ (세분비 $r>1$)에서 각각 계산한 근사해 $f(h)$, $f(rh)$를 연립하면 미지수 $\alpha$를 소거해 다음 외삽식을 얻는다.

$$f_{\text{exact}} \approx \frac{r^{p} f(h) - f(rh)}{r^{p} - 1}$$

핵심은 이 식이 $\alpha h^p$ 오차항을 정확히 상쇄시킨다는 점이다. 남는 오차는 $O(h^{p+1})$이므로, 원래 $p$차 정확도였던 기법이 공짜로 한 차수 올라간다.² $r=2$(격자를 반으로 쪼갬)이고 $p=2$(2차 정확도)인 흔한 경우, 이 식은 $f_{\text{exact}} \approx (4f(h) - f(2h))/3$처럼 단순한 가중평균으로 떨어진다.

3. 적용 1: 수치적분과 롬베르그 적분

리처드슨 외삽이 가장 화려하게 빛나는 곳은 수치적분이다. 사다리꼴 공식은 겨우 2차 정확도인 수수한 기법이지만, 구간을 반씩 쪼개며 얻은 결과에 리처드슨 외삽을 반복 적용하면 순식간에 고차 정확도로 도약한다. 이 과정을 표 형태로 체계화한 것이 롬베르그 적분(Romberg integration)이다. 한 단만 외삽하면 심슨 공식과 정확히 같은 결과가 나온다는 사실은, “이름만 다른 공식들이 사실 같은 아이디어의 변주였다”는 걸 보여주는 좋은 예다.

4. 적용 2: 수치미분과 ODE 적분

수치미분에서도 중심차분의 오차를 리처드슨 외삽으로 한 차수 더 깎아낼 수 있다. 상미분방정식(ODE) 적분에서는 이 아이디어를 룽게-쿠타법 같은 기본 적분기와 결합해 적응적으로 스텝 크기와 차수를 동시에 조절하는 불리르슈-슈토어법(Bulirsch-Stoer method)으로 발전한다. 반복 외삽을 재귀적으로 가속하는 더 일반적인 계열로는 아이켄 델타제곱법(Aitken’s Δ² process)이 있는데, 수렴이 느린 반복 수열 전반에 적용 가능한 친척뻘 기법이다.

5. 적용 3: 격자 수렴과 오차 추정

전산유체역학이나 구조해석에서는 격자를 계통적으로 세분한 두세 개의 해로부터 “무한히 촘촘한 격자”의 해를 리처드슨 외삽으로 추정하고, 그 외삽값과 조밀 격자 해의 차이를 이산화 오차의 추정치로 삼는다. 이 절차에 안전계수를 곱해 표준화한 것이 앞서 언급한 격자 수렴 지수이며, 적응 격자 세분화를 어디까지 밀어붙일지 판단하는 정지 기준으로도 쓰인다. 불확실성 정량화의 맥락에서는 이산화 오차가 전체 예측 불확실성의 한 성분으로 취급된다.

6. 전제조건과 함정

리처드슨 외삽은 공짜 점심이 아니다. 몇 가지 전제가 깨지면 오히려 독이 된다.

• 수렴 차수를 알아야(혹은 관측해야) 한다. $p$를 잘못 가정하면 상쇄되어야 할 오차항이 안 상쇄되고 엉뚱한 값으로 수렴한다.
• 단조 수렴(monotonic convergence) 이 전제다. 해가 진동하며 수렴하거나 격자에 따라 비단조적으로 흔들리면 외삽값이 참값보다 더 틀어질 수 있다.
• 점근 영역(asymptotic range) 에 들어와 있어야 한다. 격자가 아직 충분히 조밀하지 않아 고차항이 무시 못 할 크기면, $O(h^{p+1})$ 가정 자체가 깨진다.
• 매끄러운 해를 전제한다. 충격파처럼 해 자체가 불연속인 문제에서는 국소적으로 수렴 차수가 뚝 떨어지므로(초음속 유동 참고), 외삽이 사실상 무의미해진다.³

7. 관련 문서

• 격자 수렴 지수
• 수치해석
• 테일러 급수
• 수치적분
• 수치미분
• 룽게-쿠타법
• 검증 및 확인
• 적응 격자 세분화

8. Footnotes

1. Richardson, L. F. (1911). “The Approximate Arithmetical Solution by Finite Differences of Physical Problems Involving Differential Equations, with an Application to the Stresses in a Masonry Dam”. Phil. Trans. R. Soc. A. 일기예보로 유명해지기 11년 전, 이미 댐 응력 계산에 이 외삽법을 써먹고 있었다. 정작 세상은 그의 실패한 일기예보 이야기만 기억한다. ↩

2. 오차 상쇄가 “정확히” 일어나는 건 어디까지나 $\alpha h^p$ 항이 유일한 지배항일 때의 이야기다. 현실의 코드는 반올림 오차, 반복 솔버의 미수렴 잔차 등 다른 오염원도 섞여 있어서, 외삽이 능사는 아니고 격자를 무한히 세분한다고 정확도가 무한정 올라가지도 않는다. ↩

3. 그래서 충격파가 낀 초음속 CFD 결과에 격자 수렴 지수를 순진하게 들이대면 관측 차수 $p$가 1 근처로 뚝 떨어지거나 아예 음수로 나오는 민망한 사태가 벌어진다. “격자가 다 했다”는 말이 안 통하는 몇 안 되는 영역. ↩