응력과 변형률

1. 개요

응력과 변형률 Stress and Strain
분야	고체역학 × 재료역학 × 연속체역학
핵심 텐서	코시 응력 텐서 σij, 변형률 텐서 εij
구성 관계	후크의 법칙 (선형 탄성)
대표 재료상수	영률 E, 푸아송비 ν, 전단탄성계수 G
단위	응력 Pa = N/m2, 변형률 무차원

힘은 못 봐도 변형은 보인다. 그래서 우리는 변형을 보고 힘을 역산한다.

응력(stress)은 물체 내부의 단위 면적당 작용하는 내력을, 변형률(strain)은 물체가 원래 길이 대비 얼마나 늘어나거나 찌그러졌는지를 나타내는 무차원 물리량이다. 이 둘은 고체역학과 구조해석의 알파이자 오메가로, 재료가 하중을 받았을 때 어떻게 반응하는지를 정량적으로 기술하는 언어다. 응력이 재료의 한계(항복)를 넘으면 물체는 영구 변형하거나 파괴되므로, 세상의 모든 구조물은 결국 “응력을 허용치 이하로 유지하라”는 명제를 푸는 게임이다.

중요한 건 응력과 변형률이 단순한 스칼라가 아니라 텐서(tensor)라는 점이다. 방향을 가진 힘이 방향을 가진 면에 작용하니, 이를 제대로 기술하려면 2계 텐서가 필요하다. 이 사실을 처음 접한 학부생이 “왜 굳이 3×3 행렬이냐”며 킹받아 하는 것이 국룰.

2. 응력: 코시 응력 텐서

물체 내부의 한 점에서 응력 상태는 코시 응력 텐서(Cauchy stress tensor) $\boldsymbol{\sigma}$로 완전히 기술된다. 3차원에서 이것은 3×3 행렬이며 성분 $\sigma_{ij}$는 ”$j$ 방향 법선을 가진 면에 작용하는 $i$ 방향 응력”을 의미한다.

$$\boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}$$

대각 성분 $\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{zz}$는 면에 수직으로 작용하는 수직응력(normal stress), 비대각 성분 $\tau_{ij}$는 면에 나란한 전단응력(shear stress)이다. 각운동량 보존(모멘트 평형)으로부터 응력 텐서는 대칭이 되어 $\tau_{ij} = \tau_{ji}$가 성립하고, 그 덕에 독립 성분은 9개가 아니라 6개로 줄어든다¹.

임의의 면에 작용하는 응력 벡터 $\mathbf{t}$는 그 면의 법선 $\mathbf{n}$과 코시 응력 텐서로 깔끔하게 표현된다. 이것을 코시의 응력 정리라 부른다.

$$\mathbf{t}(\mathbf{n}) = \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{n}$$

응력 텐서를 대각화하면 전단응력이 0이 되는 세 개의 주응력(principal stress) $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \sigma_3$을 얻는데, 이것은 결국 고유값 문제를 푸는 일이다. 파괴 이론과 폰 미제스 응력 계산의 출발점이 바로 여기다.

3. 변형률: 늘어난 만큼을 재다

변형률은 변형 전후의 상대적 길이 변화다. 1차원 봉을 예로 들면 원래 길이 $L$이 $\Delta L$만큼 늘어났을 때 공칭변형률은 $\varepsilon = \Delta L / L$로 정의된다. 단순하지만, 3차원에서는 이 역시 텐서다.

미소변형(small strain) 가정 아래 변형률 텐서는 변위장 $\mathbf{u}$의 대칭 기울기로 정의된다.

$$\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)$$

대각 성분은 각 축 방향의 신율(수직변형률), 비대각 성분은 각도가 틀어지는 정도(전단변형률)를 나타낸다. 다만 변형이 크거나 회전이 심한 문제에서는 이 선형 근사가 깨지므로, 그린-라그랑주 변형률 같은 유한변형(finite strain) 척도를 써야 한다. 이 지점에서 문제는 비선형 구조해석의 영역으로 넘어간다.

4. 후크의 법칙: 응력과 변형률을 잇다

응력과 변형률을 이어주는 다리가 구성 관계(constitutive relation)이고, 그중 가장 유명한 것이 후크의 법칙(Hooke’s law)이다. 1차원에서 그 유명한 “늘어남은 힘에 비례한다”는 다음처럼 쓴다.

$$\sigma = E \, \varepsilon$$

여기서 비례상수 $E$가 영률(Young’s modulus, 탄성계수)이다. 강철은 약 200 GPa, 알루미늄은 약 70 GPa, 고무는 수 MPa로, 영률이 클수록 “빳빳한” 재료다². 3차원 등방성 재료에서는 후크의 법칙이 텐서 방정식으로 일반화된다.

$$\sigma_{ij} = \lambda \, \varepsilon_{kk} \, \delta_{ij} + 2\mu \, \varepsilon_{ij}$$

$\lambda$와 $\mu$는 라메 상수(Lamé constants)이며, $\mu = G$는 전단탄성계수다. 일반적인 이방성 재료라면 응력-변형률 관계는 4계 탄성 텐서 $C_{ijkl}$로 표현되어 최대 21개의 독립 상수를 가진다. 복합재 해석이 골치 아픈 이유가 바로 이 이방성 때문이다.

5. 영률, 푸아송비, 그리고 형제 상수들

등방성 선형 탄성 재료는 놀랍게도 단 두 개의 독립 상수만으로 완전히 기술된다. 나머지는 전부 이 둘의 조합이다.

• 영률 $E$: 인장 강성. 축방향 응력을 축방향 변형률로 나눈 값.
• 푸아송비 $\nu$: 한 방향으로 당기면 직각 방향이 얼마나 수축하는가. $\nu = -\varepsilon_{\text{lateral}}/\varepsilon_{\text{axial}}$. 대부분 금속이 0.3 언저리, 고무는 0.5에 근접한다³.

이 둘로부터 전단탄성계수와 체적탄성계수가 유도된다.

$$G = \frac{E}{2(1+\nu)}, \qquad K = \frac{E}{3(1-2\nu)}$$

식에서 $\nu \to 0.5$이면 체적탄성계수 $K$가 무한대로 발산하는데, 이것이 바로 고무나 물처럼 “부피가 안 변하는” 비압축성 거동이다. 유한요소 해석기가 $\nu = 0.5$ 근처에서 체적 잠김(volumetric locking)으로 폭주하는 이유도 여기에 있다.

6. 시뮬레이션에서의 응력·변형률

실무에서 응력과 변형률은 대부분 손이 아니라 유한요소법으로 계산된다. 절차를 요약하면 이렇다.

1. 구조물을 요소로 분할하고 각 절점의 변위를 미지수로 둔다.
2. 요소별 강성행렬을 조립해 전역 방정식 $\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{f}$를 만든다. 강성행렬 자체가 후크의 법칙과 요소 기하로부터 나온다.
3. 이 연립방정식을 가우스 소거법이나 반복 솔버로 풀어 변위장 $\mathbf{u}$를 구한다.
4. 변위를 미분해 변형률을, 후크의 법칙으로 응력을 후처리한다.
5. 계산된 응력을 폰 미제스 응력 같은 등가응력으로 환산해 항복 여부를 판정한다.

Abaqus, ANSYS, NASTRAN 같은 상용 솔버가 이 파이프라인을 자동화해 준다. 엔지니어가 할 일은 경계 조건을 제대로 걸고, 응력 집중부의 격자를 촘촘히 깔고, 나온 컬러 컨투어가 물리적으로 말이 되는지 검증하는 것이다. “빨간색이 나오면 위험한 거예요”라고 부장님께 브리핑하는 것까지가 업무의 마무리다.

7. 관련 문서

• 폰 미제스 응력
• 고유값 문제 · 강성행렬
• 유한요소법 · 구조해석
• 비선형 구조해석 · 복합재 해석
• 피로 해석 · 좌굴
• 연속체역학 · 탄소성 해석
• Abaqus · NASTRAN

8. Footnotes

1. 만약 $\tau_{ij} \neq \tau_{ji}$이면 미소 정육면체가 스스로 돌기 시작한다. 물체가 이유 없이 팽이처럼 도는 걸 본 적 있는가? 없으니까 대칭이다. 예외적으로 마이크로폴라(Cosserat) 연속체에서는 비대칭 응력을 허용하지만, 학부 수준에서는 그런 거 없다. ↩

2. 다이아몬드의 영률은 약 1000 GPa로 강철의 다섯 배다. 그래서 다이아몬드는 안 늘어난다. 대신 잘 깨진다. 강성과 인성은 별개라는 뼈아픈 교훈. ↩

3. 푸아송비가 음수인 재료(auxetic material)도 존재한다. 당기면 오히려 옆으로 뚱뚱해지는 변태적 물질인데, 특수 폼이나 메타물질에서 인위적으로 만든다. 자연은 가끔 우리 상식을 배신한다. ↩