파이겐바움 상수

1. 개요[편집]

파이겐바움 상수 Feigenbaum constants
δ (분기 간격비)	4.669201609102990…
α (궤도 축척비)	2.502907875095892…
발견	Mitchell J. Feigenbaum (1975), 출판 1978
독립 발견	Coullet & Tresser (1978)
적용 조건	이차(비퇴화) 극대점을 가진 단봉 사상
기제	더블링 연산자의 쌍곡 고정점
엄밀 증명	Lanford (1982), 컴퓨터 보조
무리수 여부	미해결

파이겐바움 상수는 주기배가 캐스케이드를 통해 카오스로 가는 1차원 단봉 사상에서, 사상의 구체적 형태와 무관하게 항상 같은 값으로 나타나는 두 개의 보편 상수 $\delta$와 $\alpha$다.

$$\delta = 4.669\,201\,609\,102\,990\ldots, \qquad \alpha = 2.502\,907\,875\,095\,892\ldots$$

$\delta$는 파라미터 축의 상수다. 주기배가 분기점 $r_n$이 기하급수적으로 촘촘해질 때 그 간격의 비가

$$\delta = \lim_{n\to\infty} \frac{r_n - r_{n-1}}{r_{n+1} - r_n}$$

로 수렴한다. $\alpha$는 상태 축의 상수로, 갈라진 궤도 가지의 폭이 배가할 때마다 $\alpha$배씩 줄어든다. 즉 분기 다이어그램은 가로로 $\delta$, 세로로 $\alpha$만큼 축척하면 자기 자신과 겹치는 프랙탈이고, 두 상수는 그 자기유사성의 축척 인자다.

놀라운 것은 이 값이 로지스틱 사상 $rx(1-x)$든 사인 사상 $r\sin\pi x$든 $r - x^2$든 똑같이 나온다는 점이다. 계수도 함수 꼴도 다른데 숫자가 소수점 아래까지 일치한다. 이 문서는 왜 그런지, 그리고 그 숫자를 실제로 어떻게 재는지를 다룬다. 캐스케이드 자체의 현상론은 분기 이론과 로지스틱 사상에 있다.

2. 두 상수의 정확한 정의[편집]

$\delta$는 위 극한으로 정의하면 되지만, 실제로 재기에는 분기점 $r_n$이 나쁜 표적이다. 분기점은 도함수가 정확히 $-1$이 되는 자리라 수치적으로 예민하다. 그래서 표준 처방은 초안정 파라미터(superstable parameter) $R_n$을 쓰는 것이다. $R_n$은 주기 $2^n$ 궤도가 임계점 $x_c$(로지스틱이면 $1/2$)를 포함하는 파라미터값이다. 임계점에서 $f'=0$이므로 궤도의 승수가 정확히 0이고, 따라서 $R_n$은 다음 한 줄짜리 방정식의 근이다.

$$f_R^{2^n}(x_c) = x_c$$

$R_n$은 항상 $r_n$과 $r_{n+1}$ 사이에 놓이므로 같은 극한을 준다. 게다가 방정식이 대수적이고 근이 단순근이라 이분법·뉴턴법으로 손쉽게 뽑힌다.

$\alpha$는 이 초안정 궤도 위에서 정의한다. $R_n$에서의 주기 $2^n$ 궤도 중 임계점에 가장 가까운 다른 원소까지의 부호 있는 거리를 $d_n$이라 하면

$$\alpha = -\lim_{n\to\infty}\frac{d_n}{d_{n+1}}$$

이다. 부호가 매번 뒤집히기 때문에 앞에 마이너스가 붙는다. 문헌에 따라 $\alpha$를 음수 $-2.5029\ldots$로 적기도 하는데, 여기서는 양수 관례를 쓴다.¹

3. 발견 — 계산기 한 대로 잡은 보편성[편집]

1975년 여름, 로스앨러모스의 미첼 파이겐바움은 HP-65 프로그램 가능 계산기로 단봉 사상의 분기점을 손수 찍고 있었다. 계산기가 느려 다음 분기점이 나오기까지 한참 걸렸고, 그 기다리는 시간에 이미 나온 간격들의 비를 암산으로 외삽하다가 그 비가 $4.669\ldots$ 근처로 눌러앉는 것을 알아챘다. 결정적인 순간은 사인 사상으로 바꿔 다시 돌렸는데 같은 4.669가 나온 것이었다. 계수가 전혀 다른 두 사상이 같은 숫자를 뱉는다면 그것은 사상의 성질이 아니라 분기 캐스케이드라는 구조 자체의 성질이라는 뜻이다.

논문은 순탄하지 않았다. 「Quantitative universality for a class of nonlinear transformations」은 여러 학술지에서 거절당한 끝에 1978년에야 Journal of Statistical Physics에 실렸고, 축척 함수를 다룬 후속편이 1979년에 나왔다.² 같은 시기 프랑스의 쿨레와 트레세가 독립적으로 같은 재규격화 구조에 도달했기 때문에, 엄밀히는 파이겐바움-쿨레-트레세 이론이라 부르는 것이 맞다.

4. 보편성의 조건 — 아무 사상이나 되는 게 아니다[편집]

“단봉이면 다 된다”는 흔한 오해다. 보편성 부류에 들어가려면 조건이 있다.

• 구간을 자기 자신으로 보내는 매끄러운 단봉 사상일 것. 극대점 하나, 그 좌우로 단조.
• **극대점이 이차(비퇴화)**일 것. 즉 임계점 $x_c$에서 $f''(x_c)\ne 0$. 이것이 핵심 조건이다.
• 슈바르츠 미분이 음수라는 조건이 흔히 함께 요구되는데, 이는 끌개의 유일성을 보장해 캐스케이드가 깔끔하게 관측되게 하는 기술적 장치다.

극대점의 차수를 바꾸면 상수도 바뀐다. $f(x) = r - |x|^{z}$ 꼴에서 $z=2$면 우리가 아는 $\delta=4.6692$이지만, $z=4$면 $\delta$가 7.3 부근으로 완전히 다른 값이 된다. 즉 $\delta$는 “모든 사상의 보편상수”가 아니라 이차 극대점이라는 하나의 보편성 부류에 붙은 이름표다. 상전이에서 임계지수가 차원과 질서변수 대칭성으로만 정해지는 것과 정확히 같은 구도이며, 우연이 아니라 같은 기제다.

5. 재규격화군 — 왜 세부가 씻겨 나가는가[편집]

보편성이 나오는 자리는 재규격화군이다. 여기서 “조대화”에 해당하는 연산은 두 번 반복하고 확대하기다. 사상 공간 위의 더블링 연산자를

$$(\mathcal{T}f)(x) = -\alpha\, f\bigl(f(-x/\alpha)\bigr)$$

로 정의한다. $f\mapsto f\circ f$는 주기 $2^n$을 주기 $2^{n-1}$로 바꿔 보는 조작이고, 앞뒤의 $-\alpha$ 배는 그렇게 두 번 반복하면 좁아지는 그림을 원래 크기로 되돌리는 재척도다. 스핀을 블록으로 묶고 길이를 다시 늘리는 카다노프의 조작과 형식이 같다.

파이겐바움의 관찰은 이 연산자가 고정점을 갖는다는 것이었다.

$$g(x) = -\alpha\, g\bigl(g(-x/\alpha)\bigr), \qquad g(0) = 1$$

이 함수방정식(츠비타노비치-파이겐바움 방정식, Cvitanović–Feigenbaum equation)의 짝함수 해석적 해 $g$가 존재하고, 정규화 $g(0)=1$을 걸면 축척 인자가 $\alpha = -1/g(1)$로 방정식 자체에서 결정된다. $g$를 짝수 멱급수 $g(x) = 1 - 1.5276x^2 + 0.1048x^4 + \cdots$로 전개해 계수를 맞춰 풀면 $\alpha = 2.5029\ldots$가 떨어진다. 사상 $f$는 어디에도 등장하지 않는다 — 이 단계에서 이미 원래 사상의 정보가 전부 사라졌다.

$\delta$는 그 다음 줄에서 나온다. 고정점 근방에서 $\mathcal{T}$를 선형화한 연산자 $D\mathcal{T}_g$의 스펙트럼을 보면, 관련(relevant) 방향이 정확히 하나뿐이고 그 고유값이

$$\delta = 4.6692\ldots$$

다. 나머지 스펙트럼은 전부 단위원 안, 즉 무관련(irrelevant)이다. 이것으로 이야기가 끝난다.

• 무관련 방향이 씻겨 나가므로 이차 극대점을 가진 모든 단봉 사상이 반복 재규격화 아래 같은 $g$로 빨려 들어간다 → 보편성.
• 관련 방향이 하나뿐이므로 파라미터를 하나만 조절해도 캐스케이드에 도달할 수 있다. 실험자가 손잡이 하나(레일리수, 전압)만 돌려도 되는 이유가 이것이다.
• 그 방향의 확대율이 $\delta$이므로 파라미터 축에서 거리가 매 세대 $1/\delta$로 줄어든다 → 분기 간격비.

$\delta$가 “고유값”이라는 것은 말장난이 아니라 계산 절차다. 실제로 $\delta$의 고정밀 값은 이 선형화 연산자를 절단해 고유값 문제로 푸는 방식으로 얻는다. 존재성과 쌍곡성의 엄밀한 증명은 1982년 오스카 랜퍼드 3세가 구간 해석을 써서 해냈다. 함수공간 위의 고정점을 유한 차원으로 절단하고 나머지를 구간 산술로 봉쇄하는 방식으로, 컴퓨터 보조 증명의 원형으로 꼽힌다.

6. 초안정 파라미터로 δ 를 직접 재기[편집]

이론은 그렇고, 숫자를 실제로 뽑아 보자. 로지스틱 사상에서 $f_R^{2^n}(1/2) = 1/2$를 풀어 $R_n$을 구하고

$$\delta_n = \frac{R_n - R_{n-1}}{R_{n+1} - R_n}$$

를 계산하면 다음과 같다.

$n$	$R_n$	$\delta_n$
0	2.000000000	—
1	3.236067977	4.708943
2	3.498561699	4.680771
3	3.554640863	4.662960
4	3.566667380	4.668404
5	3.569243532	4.668954
6	3.569795294	—

$R_0 = 2$와 $R_1 = 1+\sqrt5$는 손으로 나온다. $f^2(1/2)=1/2$는 $r^3 - 4r^2 + 8 = 0$으로 정리되고, 자명근 $r=2$를 걷어내면 $r^2-2r-4=0$이 남기 때문이다. $n\ge2$부터는 이분법이다.

$\delta_n$이 4.6692 위아래로 진동하며 수렴하는 것이 보인다. 단조 수렴이 아닌 것은 무관련 고유값 중 절댓값이 가장 큰 것이 음수여서 유한 $n$ 보정항의 부호가 세대마다 뒤집히기 때문으로 설명된다. 실무적으로 중요한 함정은 정밀도다. $n$이 하나 커질 때마다 $R_{n+1}-R_n$이 4.67배씩 작아지므로, 배정밀도(유효숫자 16자리)로는 $n\approx7$ 근처에서 차이가 반올림 잡음에 잠긴다. 위 표를 $\delta_5$에서 끊은 것이 그 때문이고, 더 가려면 다배정밀도가 필수다. “$\delta$를 재는 코드”가 열 줄인데 자리수를 늘리는 순간 난이도가 급변하는 대표적 사례.

7. α 는 무엇을 재는가[편집]

$\delta$에 비해 $\alpha$는 홀대받는다. 실험에서 재기가 훨씬 어렵기 때문인데, 정작 이론에서는 $\alpha$가 먼저다. 재규격화 고정점 방정식 $g = -\alpha\,g\circ g\circ(-\cdot/\alpha)$에서 $\alpha$는 방정식의 일부로 등장하고, $\delta$는 그 고정점이 정해진 다음에야 선형화의 고유값으로 나온다. 순서로 보면 $\alpha$가 부모다.

기하학적 의미는 분기 다이어그램을 세로로 확대해 보면 드러난다. 주기 $2^n$ 가지 하나가 갈라져 만드는 두 가닥의 간격이, 다음 세대에서는 $\alpha$배 좁아진다. 그런데 좁아지는 정도가 방향에 따라 다르다 — 임계점 쪽(위 표의 $d_n$ 방향)은 $\alpha \approx 2.5029$로, 반대쪽 가지는 대략 $\alpha^2 \approx 6.26$으로 줄어든다. 분기 다이어그램의 “무화과나무” 모양이 좌우로 찌그러져 보이는 이유가 이 비대칭이다.³

$\alpha$가 직접 관측되는 자리도 있긴 하다. 주기배가 캐스케이드의 파워 스펙트럼에서 매번 새로 생기는 부조화 봉우리의 평균 세기 비가 $\alpha$와 $\delta$로 결정되고, 1980년대 실험들은 실제로 이 세기 비를 함께 보고했다. 궤도의 세로 축척을 직접 재는 것보다 스펙트럼 쪽이 훨씬 잡음에 강하기 때문이다.

8. 다른 무대에서 같은 숫자[편집]

$\delta$가 로지스틱 사상 전용 숫자가 아니라는 증거는 계속 쌓인다.

• 주기 창 안의 축소 캐스케이드. 로지스틱 사상의 주기 3 창 내부에서도 주기 $3\cdot2^k$의 배가 캐스케이드가 통째로 반복되고, 그 간격비 역시 $\delta$다. 창 하나하나가 전체 그림의 축소 복제본이라는 자기유사성의 직접적 결과다.
• 2차원 소산 사상. 에농 사상처럼 면적을 수축시키는 2차원 사상도, 수축이 충분히 강하면 사실상 1차원 사상처럼 굴어 같은 $\delta$를 준다. 소산이 약해지면(면적 보존에 가까워지면) 이야기가 달라져 보존계 전용 상수 $\delta \approx 8.7211$이 등장한다. 표준 사상 같은 심플렉틱 사상의 주기배가가 그 무대다.
• 미분방정식. 뢰슬러계나 강제 더핑 방정식처럼 3차원 이상 소산 흐름의 극한주기해도 주기배가로 카오스에 든다. 푸앵카레 단면의 복귀사상이 단봉이면 그대로 1차원 이론이 적용된다.
• 만델브로 집합의 실축. 실축 위에 줄지어 붙은 원판들의 지름과 간격이 각각 $\alpha$, $\delta$의 축척을 따른다. 축적점 $c = -1.401155\ldots$가 그 캐스케이드의 끝, 즉 복소 좌표에서 본 파이겐바움 점이다.

주기배가는 카오스로 가는 세 가지 고전적 경로 중 하나다. 나머지 둘은 준주기 경로(뤼엘-타켄스)와 간헐성 경로(포모-마네빌)인데, 정량적 보편상수가 이렇게 깨끗하게 나오는 것은 주기배가 쪽뿐이다. 이 경로가 유독 유명한 이유가 그것이다.

9. 실험실에서 δ 를 본다는 것[편집]

보편성이 진짜라면 실물에서도 같은 숫자가 나와야 한다. 1980년대 초에 그 검증이 몰려서 이루어졌다.

• 레일리-베나르 대류. 리브샤버와 모레(1980)가 액체 헬륨 셀을 가열하며 온도 시계열의 주파수 스펙트럼을 보았더니, 레일리수를 올릴 때마다 기본 진동수의 절반, 그 절반, … 에 새 봉우리가 차례로 솟았다. 자연대류 문제의 무한 자유도 유체가 사실상 1차원 사상처럼 군 것이다. 이후 수은 셀 실험에서 네댓 번의 배가를 관측했다.
• 비선형 전자회로. 다이오드-인덕터 공진 회로나 구동 반도체 발진기처럼 강제 비선형 진동자는 훨씬 다루기 쉬운 무대였고, 198182년의 여러 실험이 $\delta$를 4.34.5 범위로 보고했다.

숫자가 4.669에 딱 안 맞는 것은 실패가 아니다. 실험에서 잡히는 배가는 잘해야 네댓 번이고, 위 표에서 보듯 $\delta_3$조차 4.663이다. 게다가 잡음이 있으면 고차 배가는 애초에 분해되지 않는다 — 잡음 진폭이 궤도 가지 간격보다 커지는 순간 그 세대는 뭉개진다. 그래서 실험의 결론은 “$\delta$를 5자리까지 쟀다”가 아니라 **“무한 자유도 소산계가 1차원 단봉 사상의 보편성 부류에 들어간다”**는 정성적이지만 훨씬 무거운 진술이다. 난류로 가는 길이 하나가 아니라는 것을 보인 것도 이 실험들의 몫이다.

10. 아직 모르는 것[편집]

$\delta$와 $\alpha$는 1000자리가 넘게 계산되어 있다. 그런데 정작 기초적인 질문이 열려 있다. 이 두 수가 무리수인지조차 증명되지 않았다. 대수적인지 초월적인지는 말할 것도 없다. 원주율이나 자연로그의 밑처럼 “닫힌 형태”로 표현하는 식도 알려진 것이 없고, $\delta$의 정의 자체가 함수공간 위 연산자의 고유값이라 정수론적 도구를 붙일 손잡이가 마땅치 않다. 연분수 전개에서 눈에 띄는 규칙성이 발견된 바도 없다.⁴

그럼에도 이 숫자는 만델브로 집합의 실축 위 원판 배열, 로지스틱 사상의 주기 창 안에 다시 나타나는 축소 캐스케이드, 에농 사상 같은 2차원 소산 사상, 심지어 텐트 사상과 대비되는 매끄러운 단봉 사상 전반에서 계속 튀어나온다. 어디서 왔는지는 완벽히 이해했는데 그 수가 무엇인지는 모르는, 수학에서 드물지 않은 상황이다.

11. 관련 문서[편집]

• 로지스틱 사상 · 분기 이론 · 주기배가 · 카오스 이론
• 재규격화군 · 상전이 · 프랙탈
• 만델브로 집합 · 줄리아 집합 · 텐트 사상 · 위상 공액
• 랴푸노프 지수 · 동역학계 · 고유값 문제
• 구간 해석 · 컴퓨터 보조 증명
• 자연대류 · 레일리-베나르 대류 · 간헐성
• 표준 사상 · 푸앵카레 단면 · 더핑 방정식

12. Footnotes[편집]

1. 부호 관례가 갈리는 이유는 $\alpha$가 원래 축척과 반전을 함께 담고 있기 때문이다. 더블링 연산자 $-\alpha g(g(-x/\alpha))$에 마이너스가 두 번 들어간 것도 같은 사정. 논문을 읽을 때 $\alpha$가 2.5029인지 −2.5029인지 먼저 확인하는 것이 정신건강에 좋다. ↩

2. 거절 사유는 대체로 “계산기로 찍은 숫자에 불과하다”였다고 전해진다. 이론물리학에서 실험적 발견이 거절당하는 흔치 않은 광경. 결국 상수에 발견자의 이름이 붙었으니 심사위원들 입장이 곤란해졌을 것이다. ↩

3. 그래서 분기 다이어그램을 확대할 때 가로세로를 똑같이 늘리면 그림이 안 맞는다. $\delta$로 가로, $\alpha$로 세로를 각각 다르게 늘려야 겹친다. 프랙탈이라고 다 등방인 것은 아니라는 사실을 시각적으로 배우는 좋은 기회. ↩

4. 참고로 $\delta$의 연분수 전개는 $[4; 1, 2, 43, 2, 163, 2, 3, 1, 1, \ldots]$로 시작한다. 43과 163 같은 큰 항이 일찍 튀어나오는 것이 눈에 띄지만, 그 뒤로는 아무 규칙도 발견되지 않았다. 물론 그렇다고 사람들이 안 찾아본 것은 아니다. ↩