오른슈타인-울렌벡 과정

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1. 개요

오른슈타인-울렌벡 과정
Ornstein–Uhlenbeck process
SDEdX=θ(μ−X) dt+σ dWdX=\theta(\mu-X)\,dt+\sigma\,dW
정상 분포N ⁣(μ, σ2/2θ)\mathcal N\!\left(\mu,\ \sigma^2/2\theta\right)
자기공분산σ22θe−θ∣τ∣\frac{\sigma^2}{2\theta}e^{-\theta\lvert\tau\rvert}
스펙트럼로렌츠형 σ2/(θ2+ω2)\sigma^2/(\theta^2+\omega^2)
반감기ln⁡2/θ\ln 2/\theta
제안울렌벡·오른슈타인 (1930)
다른 이름평균회귀 과정, 바시첵 모형(금융), 색잡음

브라운 운동에 고무줄을 달면 생기는 것.

오른슈타인-울렌벡 과정(Ornstein–Uhlenbeck process, OU 과정)은 평균 μ\mu 쪽으로 세기 θ\theta 의 복원력을 받으면서 백색잡음 σ dW\sigma\,dW 에 흔들리는 연속시간 확률과정이다. 식으로는

dXt=θ(μ−Xt) dt+σ dWt,θ>0dX_t=\theta(\mu-X_t)\,dt+\sigma\,dW_t,\qquad \theta>0

한 줄이다. 브라운 운동은 시간이 갈수록 분산이 끝없이 커지지만, OU 과정은 복원력 때문에 분산이 σ2/2θ\sigma^2/2\theta 에서 멈춘다. 그래서 “출렁이지만 멀리 도망가지는 않는” 모든 것 — 유체 속 입자의 속도, 광트랩에 갇힌 구슬의 위치, 금리, 두 주식의 가격 차 — 의 기본 모형이 된다.

이름은 1930년 조지 울렌벡과 레너드 오른슈타인이 랑주뱅 동역학의 속도 방정식을 풀어 브라운 입자 속도의 통계를 구한 논문에서 왔다.1 이 문서는 해를 닫힌 꼴로 적고, 그걸로 정확한 시뮬레이션·이산화 오차·모수 추정을 다룬다. 이산 시간판인 AR(1) 과의 관계는 자기회귀 모형에, 확률밀도의 시간 변화는 포커-플랑크 방정식에 있다.

2. 닫힌 꼴 해와 통계량

선형 SDE 라 적분인자 eθte^{\theta t} 를 곱하면 이토 적분 하나로 풀린다.

Xt=μ+(X0−μ)e−θt+σ∫0te−θ(t−s) dWsX_t=\mu+(X_0-\mu)e^{-\theta t}+\sigma\int_0^t e^{-\theta(t-s)}\,dW_s

확률적분의 피적분함수가 결정론적이므로 XtX_t 는 가우스 분포를 따르고, 평균과 분산은

E[Xt]=μ+(X0−μ)e−θt,Var⁡[Xt]=σ22θ(1−e−2θt).\mathbb E[X_t]=\mu+(X_0-\mu)e^{-\theta t},\qquad \operatorname{Var}[X_t]=\frac{\sigma^2}{2\theta}\left(1-e^{-2\theta t}\right).

t→∞t\to\infty 에서 정상 분포 N(μ,σ2/2θ)\mathcal N(\mu,\sigma^2/2\theta) 로 간다. 정상 상태에서 자기공분산은 지수 감쇠

C(τ)=σ22θ e−θ∣τ∣C(\tau)=\frac{\sigma^2}{2\theta}\,e^{-\theta\lvert\tau\rvert}

이고, 위너-힌친 관계로 푸리에 변환하면 로렌츠형 스펙트럼 S(ω)=σ2/(θ2+ω2)S(\omega)=\sigma^2/(\theta^2+\omega^2) 이 나온다(파워 스펙트럼). 저주파에서는 평평하고 ω≫θ\omega\gg\theta 에서 ω−2\omega^{-2} 로 떨어진다. 즉 OU 과정은 코너 주파수 θ\theta 위를 잘라 낸 백색잡음이고, 물리 쪽에서 “색잡음”이라 부르면 열에 아홉은 이것이다. 광집게 보정에서 구슬 위치 스펙트럼의 코너 주파수 fc=κ/(2πγ)f_c=\kappa/(2\pi\gamma) 를 맞추는 것이 정확히 이 로렌츠 곡선 피팅이다.

정리 몇 가지가 이 과정의 위상을 말해 준다.

  • 두브 정리. 정상이고, 가우스이고, 마르코프인 (비퇴화) 과정은 상수 차이를 빼면 OU 과정뿐이다.2 셋 중 하나라도 버리지 않는 한 다른 선택지가 없다는 뜻이다.
  • 시간 변환. Xt=μ+σ2/2θ e−θt W(e2θt)X_t=\mu+\sqrt{\sigma^2/2\theta}\,e^{-\theta t}\,W(e^{2\theta t}) 로 표준 위너 과정을 시간축만 늘려 OU 과정을 만들 수 있다. 첫 통과 문제를 풀 때 쓰는 고전 트릭이다.
  • 반감기 t1/2=ln⁡2/θt_{1/2}=\ln 2/\theta 는 평균에서 벗어난 편차가 절반으로 줄어드는 기대 시간이다. 금융의 평균회귀 전략은 이 숫자로 보유 기간을 잡는다.

3. 정확한 시뮬레이션 — 오일러를 쓸 이유가 없다

확률미분방정식을 보면 먼저 오일러-마루야마를 떠올리지만, OU 과정은 전이 분포가 가우스로 정확히 알려져 있으므로 어떤 Δt\Delta t 에서도 오차 없이 다음 값을 뽑을 수 있다.

Xn+1=μ+(Xn−μ) a+σ1−a22θ  ξn,a=e−θΔt, ξn∼N(0,1)X_{n+1}=\mu+(X_n-\mu)\,a+\sigma\sqrt{\frac{1-a^2}{2\theta}}\;\xi_n,\qquad a=e^{-\theta\Delta t},\ \xi_n\sim\mathcal N(0,1)

이것이 길레스피(1996)가 정리한 정확 갱신식이다.3 비용은 오일러와 같다(지수 하나는 미리 계산해 둔다). 같은 논문은 XX 의 시간 적분 ∫X dt\int X\,dt — 예컨대 OU 속도에서 얻는 위치 — 도 XX 와 결합된 2변수 가우스로 정확히 갱신하는 식을 준다.

반대로 오일러-마루야마 Xn+1=Xn+θ(μ−Xn)Δt+σΔt ξnX_{n+1}=X_n+\theta(\mu-X_n)\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}\,\xi_n 는 정상 분산부터 틀린다. 이 재귀식은 계수 1−θΔt1-\theta\Delta t 짜리 AR(1) 이므로 정상 분산이

Var⁡EM=σ2Δt1−(1−θΔt)2=σ2θ(2−θΔt)\operatorname{Var}_{\text{EM}}=\frac{\sigma^2\Delta t}{1-(1-\theta\Delta t)^2}=\frac{\sigma^2}{\theta(2-\theta\Delta t)}

이 되어 참값 σ2/2θ\sigma^2/2\theta 보다 2/(2−θΔt)2/(2-\theta\Delta t) 배 크다. 직접 돌려 보면(θ=σ=1\theta=\sigma=1, 20만 스텝):

θΔt\theta\Delta t예측 비율측정 분산 (참값 0.5)
0.11.0530.520
0.51.3330.662
1.02.0001.000

θΔt≥2\theta\Delta t\ge2 면 아예 발산한다. 복원력이 강한(강성인) 모드가 섞인 다차원 계에서 이 편향이 조용히 온도를 올린다는 점이 랑주뱅 동역학 적분기들이 BAOAB 같은 분할 도식으로 OU 단계를 정확히 푸는 이유다.

4. 모수 추정

간격 Δ\Delta 로 관측한 OU 과정은 정확히 AR(1) Xn+1=c+aXn+εnX_{n+1}=c+aX_n+\varepsilon_n 이므로, 최소제곱으로 a^\hat a 를 구하고 θ^=−ln⁡a^/Δ\hat\theta=-\ln\hat a/\Delta, 잔차 분산에서 σ^\hat\sigma 를 되돌린다. 이게 곧 최대우도 추정이다.

함정은 θ\theta 의 정밀도가 관측 개수가 아니라 총 관측 기간 TT 로 정해진다는 것이다. 연속 관측 극한에서 T(θ^−θ)→N(0,2θ)\sqrt{T}(\hat\theta-\theta)\to\mathcal N(0,2\theta) 이므로, 반감기의 몇 배 정도만 관측했다면 샘플링을 아무리 촘촘히 해도 θ\theta 는 거의 모른다. 짧은 표본에서 θ^\hat\theta 는 위쪽으로 치우치는 경향도 있다 — “평균회귀가 빠르다”는 결론이 실제보다 자주 나온다. 반면 σ\sigma 는 촘촘히 관측할수록 잘 맞는다(이차변동). 이 비대칭은 단위근 검정의 검정력이 1 근처에서 낮은 것과 같은 현상이다.

5. 어디에 쓰나

  • 물리. 원래 문제인 브라운 입자의 속도, 광트랩·AFM 캔틸레버의 열잡음, 레이저 위상잡음. 과감쇠 극한에서는 위치 자체가 OU 과정이다.
  • 난류 분산 모형. 라그랑주 확률 모형에서 유체 입자 속도를 OU 형태의 랑주뱅 식으로 굴린다. 포프의 단순 랑주뱅 모형이 대표적이며, 라그랑주 적분 시간이 1/θ1/\theta 역할을 한다.
  • 금융. 바시첵(1977) 단기금리 모형이 바로 OU 과정이다(음의 금리를 허용한다는 비판이 붙어 다녔고, 그게 CIR 모형의 출발점이 됐다). 공적분 관계의 스프레드를 OU 로 보고 반감기로 진입·청산을 정하는 것이 페어 트레이딩의 표준 틀이다.
  • 기계학습. 연속 행동 강화학습(DDPG)이 탐색 잡음으로 OU 과정을 썼다. 시간상관이 있어 관성 있는 물리계에서 백색잡음보다 탐색이 매끄럽다는 이유였다.
  • 확산 생성 모형. 분산 보존형 순방향 확산은 OU 과정이다. 데이터를 표준 정규분포로 끌어당기는 고무줄이 곧 θ\theta 다.
  • 이탈 문제. OU 과정이 문턱을 처음 넘는 시간은 평균 첫 통과 시간의 대표 예제이고, 비선형 퍼텐셜로 일반화하면 크라머스 탈출률이 된다.

6. 관련 문서

7. Footnotes

  1. 정확히는 랑주뱅 식에서 위치가 아니라 속도가 OU 과정이다. 위치는 그 적분이라 짧은 시간에는 탄도적으로(∝t2\propto t^2), 긴 시간에는 확산적으로(∝t\propto t) 퍼진다. 아인슈타인의 1905년 확산 이론이 짧은 시간에서 틀리는 이유를 이 논문이 메워 줬다. ↩

  2. 그래서 “가우스·마르코프·정상인 잡음 모형을 새로 제안합니다”라는 논문은 대부분 OU 를 다른 기호로 다시 쓴 것이다. 두브가 1942년에 이미 스포일러를 해 뒀다. ↩

  3. 정확 해가 있는데도 오일러로 돌리는 코드가 생각보다 많다. 대개 “일반 SDE 솔버에 OU 를 넣어 봤다”가 사연이고, 그 결과 정상 분산이 몇 퍼센트 부풀어 있다. 디버깅 국룰: 정상 분산부터 찍어 봐라. ↩

검증 자료

이 문서의 주요 출처

  1. G. E. Uhlenbeck, L. S. Ornstein (1930), On the theory of the Brownian motion, Physical Review 36, 823-841
  2. J. L. Doob (1942), The Brownian movement and stochastic equations, Annals of Mathematics 43(2), 351-369
  3. D. T. Gillespie (1996), Exact numerical simulation of the Ornstein-Uhlenbeck process and its integral, Physical Review E 54, 2084-2091
  4. O. Vasicek (1977), An equilibrium characterization of the term structure, Journal of Financial Economics 5(2), 177-188
  5. S. B. Pope (2000), Turbulent Flows, Cambridge University Press (Ch. 12, Langevin models)
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