대와류 모사

1. 개요

대와류 모사 Large Eddy Simulation
약칭	LES
분야	난류 모델링 × CFD
핵심 아이디어	큰 와류는 직접 풀고, 작은 와류는 모델링
비용 위치	RANS < LES < DNS
대표 SGS 모델	스마고린스키(1963) · 동적(1991) · WALE(1999)
격자수 스케일링	WRLES ~ Re13/7 · WMLES ~ Re

대와류 모사(Large Eddy Simulation, LES)는 난류의 큰 와류(large eddy)는 시공간적으로 직접 해상하고, 격자로 못 잡는 작은 와류는 통계적으로 모델링하는 난류 해석 기법이다. 난류 모델링의 스펙트럼에서 시간 평균으로 전부 뭉개버리는 RANS와, 콜모고로프 스케일까지 죄다 푸는 직접수치모사(DNS) 사이에 딱 걸쳐 있는 절충안이다.

핵심 통찰은 이거다. 난류 에너지의 대부분을 실어 나르는 큰 와류는 유동 형상에 강하게 의존해서 모델링이 어렵지만, 크기가 작아질수록 와류는 점점 등방적(isotropic)이고 보편적(universal)이 된다는 것.¹ 그러니 형상 의존성이 강한 큰 놈들은 성실하게 계산하고, 어차피 다 비슷하게 생긴 작은 놈들은 대충 모델로 때우자는 전략이다. “중요한 건 직접 하고, 귀찮은 건 아웃소싱한다”는 지극히 공학적인 타협.

2. 필터링

LES의 수학적 출발점은 공간 필터링(spatial filtering)이다. 어떤 물리량 $\phi$를 필터 폭 $\Delta$보다 큰 성분과 작은 성분으로 분리한다.

$$\bar{\phi}(\mathbf{x}, t) = \int G(\mathbf{x} - \mathbf{x}', \Delta)\, \phi(\mathbf{x}', t)\, d\mathbf{x}'$$

여기서 $G$는 필터 커널이고, 오버바 $\bar{\phi}$는 필터링된(즉 해상되는) 성분이다. 실무에서는 대개 격자 자체가 필터 역할을 한다(implicit filtering) — 격자보다 작은 건 어차피 못 담으니까. 필터 폭은 보통 격자 간격의 함수, 예컨대 $\Delta = (\Delta x \Delta y \Delta z)^{1/3}$로 잡는다.

이 필터를 나비에-스토크스 방정식에 적용하면 필터링된 방정식이 나오는데, 여기서 골치 아픈 항이 튀어나온다. 바로 서브그리드 스케일 응력(subgrid-scale stress, SGS stress):

$$\tau_{ij} = \overline{u_i u_j} - \bar{u}_i \bar{u}_j$$

필터링된 속도들의 곱과 곱들의 필터링이 같지 않기 때문에 생기는 미지항이다. 이 항을 어떻게 모델링하느냐가 LES의 전부라고 해도 과언이 아니다.²

3. 서브그리드 스케일 모델

3.1. 스마고린스키 모델

가장 고전적이고 널리 쓰이는 SGS 모델. 조지프 스마고린스키(Joseph Smagorinsky)가 1963년 기상 모델링을 하다 제안했다. 와점성(eddy viscosity) 가정을 써서 SGS 응력을 해상된 변형률과 연결한다.

$$\tau_{ij} - \frac{1}{3}\delta_{ij}\tau_{kk} = -2\nu_t \bar{S}_{ij}, \qquad \nu_t = (C_s \Delta)^2 |\bar{S}|$$

여기서 $\bar{S}_{ij}$는 해상된 변형률 텐서, $|\bar{S}| = \sqrt{2\bar{S}_{ij}\bar{S}_{ij}}$, $C_s$는 스마고린스키 상수다.

$C_s$ 값은 손으로 고른 게 아니라 관성 영역에서 유도할 수 있다. 필터 폭이 관성 영역 안에 있고 SGS 모델이 정확히 캐스케이드 유속 $\varepsilon$만큼을 소산한다고 놓으면

$$C_s = \frac{1}{\pi}\left(\frac{3 C_K}{2}\right)^{-3/4}$$

가 나온다. 콜모고로프 상수 $C_K \approx 1.5$를 넣으면 $C_s \approx 0.17$이다. 그런데 실제 채널 유동에 이 값을 쓰면 결과가 너무 소산적으로 나와서, 벽이 있는 유동에서는 보통 $C_s \approx 0.065$~$0.1$까지 낮춰 쓴다. “상수인데 유동마다 값이 다르다” 는 이 모순이 동적 모델이 나온 이유 그 자체다.³

또 하나의 약점은 벽이다. $C_s$가 상수라서 유동 전체에 획일적으로 적용되고, 벽 근처나 층류 영역에서 과도하게 소산(dissipation)을 먹여버린다. 벽에서는 $\nu_t \sim y^3$으로 0에 붙어야 하는데, $|\bar{S}|$는 벽에서 유한하므로 이 모델의 $\nu_t$는 상수로 남는다 — 즉 점근 거동 자체가 틀렸다.⁴

3.2. 동적 모델

1991년 저메이노(Germano) 등이 제안한 동적 스마고린스키 모델(dynamic model)은 위 문제를 우아하게 해결했다. $C_s$를 상수로 고정하지 말고, 두 개의 서로 다른 필터(격자 필터 $\Delta$와 그보다 넓은 테스트 필터 $\hat{\Delta} \approx 2\Delta$)에서 얻은 정보를 비교해 국소적으로 계산하자는 발상이다. 두 필터의 SGS 응력은 모델링 가정 없이 저메이노 항등식으로 정확히 묶인다.

$$L_{ij} = T_{ij} - \widehat{\tau_{ij}} = \widehat{\bar{u}_i \bar{u}_j} - \hat{\bar{u}}_i \hat{\bar{u}}_j$$

좌변 $L_{ij}$는 해상된 장만으로 계산할 수 있는 양이다. 양변에 스마고린스키 형태를 넣고 릴리(Lilly, 1992)의 최소제곱으로 풀면 $C_s^2$가 시공간의 함수로 튀어나온다. 그러면 벽 근처에서 자동으로 $C_s \to 0$이 되고, 층류 구간에서도 알아서 소산이 꺼진다. 튜닝 파라미터 없이 계수가 스스로 조정되니 그야말로 “격자가 알아서 다 한다”. 다만 동적으로 계산된 계수가 음수로 튀어 수치적으로 불안정해지는 경우가 있어, 국소 평균이나 클리핑으로 달래줘야 한다.

이 밖에도 WALE, Vreman, Sigma 모델 등 벽 거동을 개선한 SGS 모델이 계속 나오고 있다.

4. 비용과 정확도에서의 위치

LES가 어디쯤 서 있는지는 표 하나로 정리된다.

기법	해상 범위	비용	정상성
RANS	평균장만 (모든 스케일 모델링)	저	정상해 가능
LES	큰 와류 직접 + 작은 와류 모델	중~고	본질적으로 비정상
DNS	모든 스케일	극고	비정상

LES는 RANS보다 수십~수백 배 비싸지만 DNS보다는 훨씬 싸다. 비정상 유동, 유동박리, 음향, 연소처럼 RANS가 구조적으로 약한 문제에서 진가를 발휘한다. 유동박리나 카르만 와열 같은 대규모 비정상 구조를 잡아내는 데 특히 강하다.

5. 벽 근처 문제

LES의 아킬레스건은 벽이다. 벽에 가까워질수록 에너지를 나르는 와류의 크기가 점점 작아져서, 이걸 다 해상하려면 격자를 미친 듯이 촘촘하게 깔아야 한다. 이 비용은 사실상 DNS에 육박한다. 그래서 벽 처리 방식에 따라 두 갈래로 나뉜다.

• WRLES(Wall-Resolved LES): 벽 근처 작은 와류까지 격자로 직접 해상. 정확하지만 격자수가 $N \sim Re_{L_x}^{13/7} \approx Re^{1.86}$으로 폭발한다.
• WMLES(Wall-Modeled LES): 벽 근처는 벽함수 비슷한 벽 모델로 때우고, 바깥의 큰 와류만 LES로 푼다. 격자수가 $N \sim Re_{L_x}$로 선형이라 훨씬 현실적이다.⁵

지수 하나 차이가 얼마나 큰지는 숫자를 넣어보면 바로 나온다. $Re$를 $10^6$에서 $10^7$로 열 배 올리면 WMLES 격자수는 열 배로 끝나지만 WRLES는 $10^{1.86} \approx 72$배가 된다. 해상해야 할 시간 스텝 수까지 함께 늘어나니 총 비용 차이는 더 벌어진다.

해상도가 충분한지 판정하는 실무 기준도 있다. 포프(Pope)가 제시한 관행은 해상된 난류 운동에너지가 전체의 80% 이상이면 그 LES를 믿을 만하다고 본다. SGS 점성이 분자 점성의 수백 배로 치솟는 영역이 넓게 잡히면 격자가 모자란다는 신호다.

산업 현장에서 고레이놀즈수 유동에 LES를 쓴다면 사실상 WMLES라고 보면 된다. WRLES는 아직 대부분 학술 영역이다. 이 벽 문제 때문에 RANS와 LES를 지역별로 섞어 쓰는 분리 와류 모사(DES, Detached Eddy Simulation) 같은 하이브리드 기법도 널리 쓰인다. 벽 근처는 k-오메가 SST 모델 같은 RANS로, 박리된 바깥 영역은 LES로 넘기는 식이다.

6. 관련 문서

• 난류 모델링 · 분리 와류 모사
• 직접수치모사 · 콜모고로프 스케일
• k-엡실론 모델 · k-오메가 SST 모델
• 나비에-스토크스 방정식 · 에너지 캐스케이드
• 벽함수
• 유동박리 · 카르만 와열
• 전산유체역학 · 레이놀즈수

7. Footnotes

1. 이게 콜모고로프의 국소 등방성 가설(local isotropy hypothesis)이다. 큰 스케일에서 주입된 에너지가 관성 영역을 거쳐 작은 스케일로 캐스케이드되면서 방향성을 잃어버린다는 것. LES의 존재 근거 그 자체다. ↩

2. SGS 모델은 대부분 “역방향 산란(backscatter)”, 즉 작은 와류가 큰 와류에 에너지를 되돌려주는 현상을 잘 못 잡는다. 대다수 모델이 순수 소산만 표현하기 때문. 그래서 LES는 은근히 “필요 이상으로 얌전한” 난류를 뱉기도 한다. ↩

3. 이 유도는 릴리(Lilly)가 1967년에 한 것이고, 스마고린스키 본인의 1963년 논문은 기상 모델의 수평 혼합을 다루면서 혼합거리(mixing length) 형태로 썼을 뿐 "$C_s$"라는 이름도, 관성 영역 보정도 등장하지 않는다. 지금 우리가 “스마고린스키 상수”라 부르는 건 정확히는 스마고린스키의 식 × 릴리의 상수다. ↩

4. 그래서 옛날 사람들은 벽 근처에서 반 드리스트(Van Driest) 감쇠 함수를 손으로 곱해주곤 했다. 동적 모델이 나오면서 이 수작업은 역사의 뒤안길로. ↩

5. Choi & Moin(2012)이 채프먼(Chapman, 1979)의 고전적 추정을 다시 계산해 얻은 값이다. 채프먼이 내놨던 $Re^{0.4}$(외부층)·$Re^{1.8}$(내부층) 계열 지수가 오래 인용됐는데, 이들이 평판 경계층 상관식을 갱신해 다시 풀자 WRLES는 $Re_{L_x}^{13/7}$, WMLES는 $Re_{L_x}$로 정리됐다. 이 하나의 지수 차이가 “학술이냐 산업이냐”를 가른다. ↩