당량비

1. 개요[편집]

당량비 Equivalence Ratio
기호	φ (phi)
정의	실제 연료/공기비 ÷ 화학양론 연료/공기비
형제 지표	공기과잉률 λ = 1/φ, 공연비 A/F, 혼합분율 Z
φ < 1	희박(lean) — 산소가 남는다
φ > 1	농후(rich) — 연료가 남는다
대표 활용	연소 해석 입력, 엔진 폐루프 연료제어, 배출가스 예측

연소 해석에서 조성을 묻는 질문은 결국 하나로 수렴한다. “φ 얼마요?”

당량비(equivalence ratio) $\phi$ 는 연료와 산화제가 섞인 비율을 화학양론비로 정규화한 무차원수로, 연료 종류에 상관없이 “연료가 남는가 산소가 남는가”만을 말해 주는 지표다. 정의는 단순하다.

$$\phi = \frac{(F/A)}{(F/A)_{\mathrm{st}}} = \frac{(A/F)_{\mathrm{st}}}{(A/F)}$$

여기서 $F/A$ 는 연료/공기 질량비, 아래첨자 st 는 화학양론(stoichiometric) 값이다. $\phi = 1$ 이면 연료와 산소가 딱 맞고, $\phi < 1$ 은 희박(lean), $\phi > 1$ 은 농후(rich)다.

이 하나의 숫자가 연소의 거의 모든 것을 지배한다. 층류 화염 속도도, 단열 화염 온도도, NOx·CO·매연 배출도, 심지어 불이 붙느냐 마느냐(가연 한계)도 φ 의 함수로 그려진다. 그래서 연소 논문의 그래프는 가로축이 φ 인 것이 국룰이고, Cantera 같은 코드에는 조성을 몰분율로 일일이 넣는 대신 φ 하나로 세팅하는 전용 함수가 아예 들어 있다.¹

2. 정의를 쓰는 여러 방식[편집]

φ 를 실제로 계산하는 방법은 세 가지가 있고, 결과는 같아야 하지만 편한 상황이 다르다.

질량비로. 위의 정의식 그대로. 실험·엔진 제어에서 유량계 두 개를 읽는 경우 이게 자연스럽다.

총괄 반응식의 계수로. 임의의 탄화수소 $\mathrm{C}_x\mathrm{H}_y$ 를 공기로 태우는 반응을 이렇게 쓰면 φ 가 계수 안에 들어간다.

$$\mathrm{C}_x\mathrm{H}_y + \frac{1}{\phi}\left(x+\frac{y}{4}\right)\left(\mathrm{O_2} + 3.76\,\mathrm{N_2}\right) \longrightarrow \text{생성물}$$

$x + y/4$ 는 완전연소에 필요한 산소 몰수고, 공기 1몰당 질소 3.76 몰은 건공기 조성(21:79)에서 나온다. 계산 코드의 입력을 만들 때 이 형태가 제일 실수가 없다.

산소 요구량의 비로. 가장 일반적인 정의다.

$$\phi = \frac{\text{존재하는 연료를 완전연소시키는 데 필요한 } \mathrm{O_2}\text{ 몰수}}{\text{실제로 존재하는 } \mathrm{O_2}\text{ 몰수}}$$

이 정의는 연료가 여러 종류로 섞여 있어도, 산화제가 공기가 아니어도(순산소 연소·배기가스 재순환으로 희석된 공기) 그대로 쓸 수 있다. 실무에서 조성이 지저분해지면 결국 여기로 돌아온다.

3. 이론공연비 — 그 숫자는 어디서 나오나[편집]

화학양론 공연비 $(A/F)_{\mathrm{st}}$ 는 반응식과 원자량만으로 결정되는 순수한 산수다. 건공기 평균 분자량 28.96 g/mol, 산소 1몰당 공기 4.76 몰을 쓰면 다음이 나온다.

연료	화학식	(A/F)st (질량)	화학양론 혼합분율 Zst
수소	H₂	약 34.3	0.028
메탄	CH₄	약 17.2	0.055
프로판	C₃H₈	약 15.6~15.7	0.060
아이소옥탄	C₈H₁₈	약 15.1	0.062
가솔린	(혼합물)	약 14.7	0.064
경유	(혼합물)	약 14.5	0.065
에탄올	C₂H₅OH	약 9.0	0.100
메탄올	CH₃OH	약 6.4	0.135

여기서 자주 헷갈리는 지점이 하나 있다. 가솔린의 14.7 은 아이소옥탄의 값이 아니다. 순수 아이소옥탄만 태우면 15.1 이 나오고, 실제 가솔린이 14.7 로 내려가는 것은 방향족과 올레핀이 섞여 평균 H/C 비가 낮아지기 때문이다. 그래서 대체연료를 다룰 때는 이론공연비를 반드시 그 연료의 실제 조성(혹은 원소 분석)에서 다시 계산해야 한다. 에탄올 혼합 가솔린(E10, E85)은 이 숫자가 계속 움직이므로 ECU 가 이론공연비 자체를 추정하는 로직(flex-fuel 학습)을 돌린다.

메탄올·에탄올의 (A/F)가 작다고 “연료가 더 필요하니 나쁘다”고 읽으면 안 된다. 이들은 발열량도 그만큼 작다. 단위 공기당 발열량은 대부분의 탄화수소·알코올이 서로 비슷해서, 같은 배기량 엔진의 최대 토크는 연료 종류를 바꿔도 크게 변하지 않는다 — 공기가 병목이지 연료가 병목이 아니기 때문이다.

4. 공기과잉률 λ[편집]

내연기관 쪽에서는 φ 보다 그 역수를 더 자주 쓴다.

$$\lambda = \frac{1}{\phi} = \frac{(A/F)}{(A/F)_{\mathrm{st}}}$$

공기과잉률(excess air ratio, 람다)이라 부르며, “공기를 화학양론보다 몇 배 넣었나”를 직접 읽는다. λ = 1.3 이면 공기 30% 과잉이다. 보일러·가스터빈 업계는 여기서 한 발 더 나가 과잉공기율(excess air, $\lambda - 1$ 을 %로) 혹은 배기 산소 농도(%O₂, 건조 기준)로 말하는 것이 관행이다. 세 지표는 서로 변환 가능하지만 기준 습분(wet/dry)과 참조 산소 농도를 밝히지 않은 배기 데이터는 비교할 수 없다.

디젤은 전 운전영역에서 λ > 1 이다 — 부하를 스로틀이 아니라 분사량으로 조절하니 공기는 항상 남는다. 아이들에서 λ 가 6 을 넘기도 하고 전부하에서도 1.2~1.5 근처에 머문다. 이 한 문장이 디젤이 삼원촉매를 못 쓰고 SCR·LNT 로 가야 하는 이유 전부다.

5. 단열 화염 온도의 최댓값이 왜 φ ≈ 1.05 인가[편집]

직관은 “화학양론에서 온도가 최대”라고 말한다. 완전연소를 가정한 손계산은 실제로 정확히 φ = 1 에서 최댓값을 준다. 그런데 화학평형을 제대로 풀면 최댓값이 살짝 농후 쪽($\phi \approx 1.05$)으로 밀린다. 이유가 둘이다.

• 해리 손실. 2000 K 를 넘으면 CO₂ 와 H₂O 가 유의미하게 해리되어 흡열한다. 화학양론에서는 산소가 딱 맞게 있어 해리로 잃을 여지가 최대인데, 조금 농후해지면 애초에 산화될 산소 자체가 부족해 해리 손실이 줄어든다.
• 비열 효과. 농후 쪽 생성물에는 CO 와 H₂ 가 섞인다. 이원자 분자라 삼원자인 CO₂·H₂O 보다 정적 비열이 작다. 같은 발열량을 더 적은 열용량이 나눠 가지므로 온도 상승 폭이 커진다.

즉 φ ≈ 1.05 의 최댓값은 화학의 결과가 아니라 열역학의 결과다. 해리를 끄면 이 편이(offset)는 사라진다. 층류 화염 속도의 최댓값도 비슷하게 $\phi \approx 1.05\sim1.1$ 로 밀리는데, 그건 온도뿐 아니라 라디칼 풀 형성까지 얽힌 별개의 이야기라 층류 화염 속도 쪽에서 다룬다. 수소는 확산 효과가 워낙 커서 $\phi \approx 1.7$ 까지 밀린다.

가연 한계도 φ 로 말하면 깔끔하다. 메탄-공기의 가연 범위 5~15 vol% 를 환산하면 대략 $\phi = 0.5 \sim 1.7$ 이다. 희박 쪽 한계는 화염이 자기 손실을 못 이기는 지점(열손실·복사), 농후 쪽 한계는 산소 부족이다.

6. 배출가스는 φ 를 어떻게 따르는가[편집]

예혼합 화염에서 주요 배출물의 φ 의존은 교과서 그림 한 장으로 정리되고, 그 모양이 배기 규제 대응 전략 전체를 결정했다.

성분	φ 의존	이유
NO	φ ≈ 0.9 부근에서 최대	고온(φ≈1.05 최대)과 산소 가용성(희박에서 증가)의 타협점
CO	희박에서 거의 0, φ > 1 에서 급증	농후 쪽에서는 산화할 산소가 없다
미연 탄화수소	화학양론 약간 희박에서 최소	농후에서는 연료 과잉, 극희박에서는 실화·부분연소
그을음	예혼합에서는 φ ≈ 1.4~1.5 이상에서 발생	국소 농후 + 중간 온도가 그을음 생성 조건

여기서 NO 의 최댓값이 화학양론이 아니라 약간 희박 쪽이라는 것이 중요하다. 열적 NO 생성률은 대략 $[\mathrm{O}][\mathrm{N_2}]$ 에 비례하고 $[\mathrm{O}]$ 는 산소 분압의 제곱근을 따라가므로, 희박화가 온도는 낮추지만 산소는 늘려서 둘이 맞붙는다. 자세한 반응 경로는 질소산화물 쪽에 있다.

7. λ = 1 창에 갇힌 삼원촉매[편집]

가솔린 엔진이 수십 년째 λ = 1 을 고집하는 이유는 효율이 아니다. 삼원촉매가 그 점에서만 작동하기 때문이다.

삼원촉매는 이름대로 세 일을 동시에 한다 — CO 산화, HC 산화, 그리고 NOx 환원. 앞의 둘은 산화 분위기를 원하고 뒤의 하나는 환원 분위기를 원한다. 서로 모순되는 요구를 동시에 만족하는 조성 구간은 화학양론 바로 그 점 주변의 아주 좁은 띠뿐이고, 세 성분 전환율이 모두 90% 를 넘는 구간은 대략 λ = 1 ± 0.005~0.01, 즉 1% 안쪽이다. 희박으로 조금만 빠져도 NOx 전환율이 무너지고, 농후로 빠지면 CO 가 뚫고 나온다.

이 좁은 창을 실제로 지킬 수 있게 만드는 장치가 촉매 담체의 산소 저장 능력(OSC, 주로 세리아)이다. 희박 순간의 산소를 물었다가 농후 순간에 내주어 촉매 표면의 실효 조성을 평활화한다. 그래서 폐루프 제어는 λ 를 1 에 붙여 놓는 대신 1 주변으로 일부러 흔든다(dither, 대략 1 Hz, 진폭 수 %) — 산소 저장고를 계속 채우고 비워 완충 능력을 살아 있게 유지하는 것이다. 제어 관점에서 보면 촉매는 적분기이고, 그 적분기의 상태(저장 산소량)를 궤도 안에 두는 것이 목표다.

8. 람다 센서와 폐루프 연료제어[편집]

φ 를 제어하려면 먼저 재야 한다. 배기관에 달린 람다 센서(산소 센서)가 그 일을 한다.

협대역 센서(narrowband, 스위칭형)는 지르코니아 고체전해질 양면의 산소 분압차로 기전력을 만드는 네른스트 셀이다.

$$E = \frac{R T}{4F} \ln\!\frac{p_{\mathrm{O_2}}^{\mathrm{ref}}}{p_{\mathrm{O_2}}^{\mathrm{exh}}}$$

로그가 들어 있으니 완만할 것 같은데 실제로는 on/off 스위치처럼 동작한다. 화학양론을 지나는 순간 배기의 평형 산소 분압이 열댓 자릿수씩 뛰기 때문이다(희박에서 $10^{-3}$ atm 수준, 농후에서는 CO/CO₂ 평형이 지배해 $10^{-18}$ atm 수준). 자릿수 15 를 로그에 넣으면 900 K 에서 대략 0.6~0.7 V 의 계단이 나온다. 그래서 협대역 센서 출력은 λ = 1 근처에서 100 mV ↔ 800 mV 로 튀며, 판정 문턱은 관행적으로 450 mV 근처다. λ 값을 읽는 센서가 아니라 λ = 1 을 넘었는지만 알려주는 비교기인 셈이다.

광대역 센서(UEGO)는 여기에 산소 펌프 셀을 하나 더 붙인다. 확산 배리어로 막힌 측정 챔버 안의 조성을 네른스트 셀이 항상 450 mV(= λ 1)로 유지되도록 산소를 퍼넣거나 퍼내고, 그때 흐르는 펌프 전류를 읽는다. 전류가 λ 편차에 비례하므로 λ 0.7 부터 순수 공기까지 선형으로 읽히고, 희박연소·디젤·HCCI 처럼 λ ≠ 1 로 운전하는 엔진에는 이것이 필수다.

제어기 구조는 보기보다 까다롭다.

• 수송 지연. 연료를 뿜은 시점과 센서가 반응하는 시점 사이에 배기가 흘러가는 시간과 센서 응답 시간이 겹쳐 수십~수백 ms 의 순수 지연이 생긴다. 지연이 있는 PID 제어는 이득을 올릴 수 없어, 실제 λ 는 항상 1 주변에서 한계 사이클을 그린다.
• 피드포워드가 본체다. 과도 운전에서는 폐루프가 따라가지 못하므로 공기량 추정 + 연료 벽면 부착 모델(흡기 포트 유막의 축적·증발을 1차 지연으로 모델링하는 이른바 X-τ 보상)로 미리 연료량을 낸다. 폐루프는 그 위의 느린 보정에 가깝다.
• 캐스케이드. 촉매 하류에 센서를 하나 더 달아 상류 센서의 기준점 자체를 천천히 보정한다. 상류 센서는 노화로 특성이 밀리지만, 하류 센서는 촉매의 산소 저장 상태를 보므로 기준으로 쓸 수 있다.

여기서 자주 나오는 오해 하나. EGR 을 넣어도 λ 는 변하지 않는다. 재순환 가스는 이미 그 λ 로 연소를 마친 가스라 산소 잔량 비율이 그대로다. λ(조성)와 희석률은 독립적인 두 손잡이이고, 그래서 가솔린 엔진이 삼원촉매를 유지하면서도 EGR 로 노킹과 펌핑손실을 잡을 수 있다.

9. 비예혼합 화염 — 국소 당량비와 혼합분율[편집]

디젤 분무나 확산 화염에는 “그 화염의 φ” 라는 것이 없다. 연료와 공기가 섞이면서 타므로 공간마다 φ 가 0 에서 ∞ 까지 전부 존재한다. 이럴 때 쓰는 보존 스칼라가 혼합분율 $Z$ 이고, φ 와는 일대일로 대응한다.

$$\phi = \frac{Z}{1-Z}\cdot\frac{1-Z_{\mathrm{st}}}{Z_{\mathrm{st}}}, \qquad Z_{\mathrm{st}} = \frac{1}{1+(A/F)_{\mathrm{st}}}$$

즉 φ 와 Z 는 같은 정보를 담은 두 좌표계다. Z 를 쓰는 이유는 화학반응에 대해 보존되는 양이라 수송 방정식이 소스항 없이 깨끗하다는 것이고, φ 를 쓰는 이유는 사람이 읽기 쉽다는 것이다. 메탄은 $Z_{\mathrm{st}} \approx 0.055$, 가솔린은 0.064 로 둘 다 매우 작다 — 확산 화염은 연료 스트림 쪽 아주 얇은 껍질에 서 있다는 뜻이고, 이것이 화염 위치가 형상보다 혼합에 민감한 이유다. 이 좌표계 위에서 굴러가는 화염면(flamelet) 모델 계열은 연소 시뮬레이션 쪽에 정리돼 있다.

실무에서 진짜로 쓰이는 도구는 국소 φ 와 국소 온도를 두 축에 놓은 φ-T 지도다. 그을음이 나는 영역과 NOx 가 나는 영역이 이 평면의 서로 다른 섬으로 그려지고, 연소 궤적이 두 섬 사이를 어떻게 통과하는지가 배출량을 결정한다. 저온연소 전략의 논리 전체가 이 지도 위에서 설명되며, 자세한 것은 배기가스 재순환 쪽에 있다.

10. 시뮬레이션에서 φ 를 다룰 때의 함정[편집]

• 정의를 밝혀라. 산화제에 EGR 이 섞여 있으면 “공기”의 정의가 흔들린다. 재순환 가스의 잔류 산소를 산화제로 세느냐 마느냐로 φ 가 몇 % 씩 달라진다. 논문 인용 시 φ 와 희석률을 반드시 함께 확인한다.
• 습분. 대기 습도가 높으면 건공기 기준 (A/F)_st 가 미세하게 변하고, 무엇보다 H₂O 가 열용량과 라디칼 풀에 관여해 NOx 를 눈에 띄게 낮춘다. 배출가스 인증 규정에 습도 보정식이 들어 있는 이유다.
• 총괄 φ ≠ 국소 φ. 성층 희박 연소나 직분사 엔진에서 총괄 φ 는 0.4 라도 점화플러그 주변 국소 φ 는 1 근처다. 총괄 φ 만 보고 화염 속도 상관식에 넣으면 통째로 틀린다.
• 원소 기준으로 검산. 코드에 조성을 손으로 넣었을 때 C·H·O·N 원소 수지가 맞는지 확인하는 것이 가장 빠른 디버깅이다. φ 를 잘못 넣은 계산은 수렴도 잘 하고 그림도 예쁘게 나오기 때문에 틀렸다는 신호를 주지 않는다.²
• φ 스윕은 연속법으로. φ 를 옮겨 가며 화학평형이나 1차원 화염을 반복해서 풀 때는 이전 해를 초기값으로 넘겨야 뉴턴 반복이 산다. 화학양론 근처를 지날 때 특히 예민하다.³

11. 관련 문서[편집]

• 층류 화염 속도 · 화학평형 · 연소 시뮬레이션
• 질소산화물 · 배기가스 재순환 · 그을음 · 삼원촉매
• 노킹 · 자착화 · HCCI · 옥탄가 · 세탄가
• 비베 함수 · 가변 밸브 타이밍 · 람다 센서
• Cantera · CHEMKIN · 화학반응 메커니즘 · 반응속도론
• PID 제어 · 담쾰러 수 · 무차원수

12. Footnotes[편집]

1. gas.set_equivalence_ratio(phi, fuel, oxidizer) 한 줄. 이걸 알기 전에 몰분율을 엑셀로 계산해서 붙여 넣던 시절이 있었고, 그때 실수의 90% 는 질소를 3.76 이 아니라 3.76 배로 착각하거나 아예 빼먹는 것이었다. ↩

2. 이것이 φ 관련 버그의 악질적인 점이다. 격자가 나쁘면 발산이라도 하는데, φ 가 틀린 계산은 아주 얌전히 수렴해서 아주 그럴듯한 컨투어를 뽑아 준다. 리뷰어가 “온도가 좀 높은데요”라고 말해 주기 전까지 아무도 모른다. ↩

3. φ 를 0.5 에서 1.5 까지 0.01 씩 스윕하는 스크립트를 짜 놓고 퇴근했다가, 아침에 화학양론 근처 열 몇 점만 비어 있는 결과 파일을 보는 경험은 이 바닥의 통과의례에 가깝다. 수렴은 신에게 맡기지 말고 이전 해에 맡겨야 한다. ↩