카르노 사이클

1. 개요[편집]

카르노 사이클 Carnot Cycle
제안	사디 카르노, 1824 — Réflexions sur la puissance motrice du feu
해석적 정식화	에밀 클라페롱, 1834 (P-V 선도)
구성	등온 2 + 단열(등엔트로피) 2, 전부 가역
열효율	η = 1 − TC/TH
T-S 선도	직사각형
귀결	절대온도의 정의 · 클라우지우스 부등식 · 엔트로피
실물	아무도 만들지 않는다 — 출력이 0이거나 마찰에 먹힌다

열역학에서 가장 유명한데 아무도 만들어 본 적 없는 기관. 그런데 그 기관이 없었으면 절대온도도 엔트로피도 없었다.

카르노 사이클은 두 개의 열원 사이에서 등온 과정 둘과 단열(등엔트로피) 과정 둘로만 구성되고 모든 단계가 가역인 이상 순환 과정이다. 1824년 사디 카르노가 열의 동력에 관한 고찰에서 제시했고, 이 사이클의 효율

$$\eta_{\rm Carnot} = 1 - \frac{T_C}{T_H}$$

이 두 열원 사이에서 작동하는 모든 열기관 효율의 절대 상한이 된다. 작동물질이 공기든 물이든 프레온이든 고무줄이든 상관없다는 것이 이 정리의 진짜 무게다.

이 문서는 사이클 자체를 다룬다. 네 과정을 이상기체로 구체적으로 풀고, P-V·T-S 선도에서 무엇이 보이는지, 냉동기로 뒤집으면 무엇이 되는지, 그리고 왜 아무도 실물로 만들지 않는지까지다. 카르노 정리가 클라우지우스·켈빈-플랑크 진술과 어떻게 동치이며 거기서 엔트로피가 어떻게 유도되는지는 열역학 제2법칙 문서가 논증 사슬을 통째로 맡고 있으므로, 여기서는 결과만 가져다 쓴다.

2. 네 과정[편집]

작동유체를 실린더에 가둔 채, 온도 $T_H$ 의 고온 열원과 $T_C$ 의 저온 열원, 그리고 단열벽을 번갈아 붙였다 뗐다 한다고 상상하면 된다.

과정	이름	열	조건
1→2	등온 팽창 ($T_H$)	$Q_H$ 흡수	열원과 온도차 0 으로 접촉
2→3	단열 팽창	0	$T_H \to T_C$
3→4	등온 압축 ($T_C$)	$Q_C$ 방출	열침과 온도차 0 으로 접촉
4→1	단열 압축	0	$T_C \to T_H$

“온도차 0 으로 열을 주고받는다”는 조건이 이 사이클의 전부이자 저주다. 유한한 온도차로 열이 흐르면 그 자체가 비가역이므로, 가역이려면 온도차가 0 이어야 하고, 온도차가 0 이면 열이 흐르는 데 무한한 시간이 걸린다. 뒤에서 이 대가를 정확히 계산한다.

3. 이상기체로 푼 효율[편집]

작동유체를 이상기체 $n$ 몰로 두자. 등온 과정에서는 $\Delta U=0$ 이므로 받은 열이 전부 일이 된다.

$$Q_H = nRT_H\ln\frac{V_2}{V_1},\qquad Q_C = nRT_C\ln\frac{V_3}{V_4}$$

단열 과정에는 $TV^{\gamma-1}=\text{const}$ 가 적용된다.

$$T_H V_2^{\gamma-1}=T_C V_3^{\gamma-1},\qquad T_C V_4^{\gamma-1}=T_H V_1^{\gamma-1}$$

두 식을 나누면 $\left(V_2/V_1\right)^{\gamma-1}=\left(V_3/V_4\right)^{\gamma-1}$, 즉

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_4}$$

두 로그가 정확히 같아진다. 그래서

$$\frac{Q_C}{Q_H}=\frac{T_C}{T_H} \qquad\Longrightarrow\qquad \eta = 1-\frac{Q_C}{Q_H}=1-\frac{T_C}{T_H}$$

유도에서 $n$, $R$, $\gamma$, 압축비가 전부 약분됐다는 점이 결정적이다. 작동물질의 성질이 하나도 남지 않는다. 오토 사이클 효율에는 $\gamma$ 가 지수로 박혀 있고 디젤 엔진 이상 사이클에는 컷오프비까지 들어가는 것과 정면으로 대비된다. 그리고 카르노 정리에 따르면 이 결과는 이상기체를 쓴 우연이 아니다 — 어떤 가역 기관이든 같은 값이 나와야 하며, 아니면 두 기관을 조립해 제2법칙을 위반하는 장치를 만들 수 있다.

이 물질 독립성 때문에 켈빈은 비율 $Q_C/Q_H$ 자체를 온도의 정의로 삼았다. 우리가 쓰는 절대온도는 수은의 팽창률이 아니라 이 사이클에서 나온다.

4. P-V 선도와 T-S 선도[편집]

P-V 선도에서 카르노 사이클은 등온선 두 개와 단열선 두 개로 둘러싸인 얄팍한 사각 비슷한 도형이다. 등온선은 $pV=\text{const}$, 단열선은 $pV^\gamma=\text{const}$ 이므로 단열선이 더 가파르고, 그래서 네 곡선이 만드는 영역이 길쭉하게 눌린다. 둘러싸인 면적이 순일 $W_{\rm net}=Q_H-Q_C$ 다.

T-S 선도로 옮기면 같은 사이클이 완벽한 직사각형이 된다. 등온이 수평선, 등엔트로피가 수직선이니 당연하다. 여기서 모든 것이 한눈에 보인다.

$$Q_H=T_H\,\Delta S,\qquad Q_C=T_C\,\Delta S,\qquad W_{\rm net}=(T_H-T_C)\,\Delta S$$ $$\eta=\frac{(T_H-T_C)\Delta S}{T_H\,\Delta S}=1-\frac{T_C}{T_H}$$

T-S 선도에서 카르노 효율은 유도가 아니라 그냥 넓이 비다. 왜 직사각형이 최적인지도 그림으로 답이 나온다. 같은 최고·최저 온도 안에 갇힌 임의의 순환은 T-S 평면에서 그 직사각형 안에 들어가는 도형이므로, 흡열 구간의 평균 온도는 $T_H$ 보다 낮고 방열 구간의 평균 온도는 $T_C$ 보다 높다. 직사각형에서 벗어나는 모든 모양이 효율을 깎는다.

이 관찰을 정량화하면 실무에서 훨씬 쓸모 있는 형태가 나온다. 실제 사이클은 열원 온도가 미끄러지므로(연소가스가 식으면서 열을 주고, 냉각수가 데워지면서 열을 받는다) 엔트로피 가중 평균온도를 쓴다.

$$\bar T=\frac{\int T\,dS}{\Delta S} \qquad\Longrightarrow\qquad \eta_{\max}=1-\frac{\bar T_C}{\bar T_H}$$

랭킨 사이클에서 재열·재생급수가열이 효율을 올리는 이유가 정확히 이것이다 — 사이클을 T-S 평면에서 직사각형 쪽으로 밀어 $\bar T_H$ 를 올린다. “카르노에 가깝게 만든다”는 업계 표현은 은유가 아니라 T-S 도형 이야기다.

5. 거꾸로 돌리면 — 냉동기와 열펌프[편집]

카르노 사이클은 전부 가역이므로 방향을 통째로 뒤집을 수 있다. 일을 넣어 저온에서 열을 퍼 올리는 장치가 되고, 성능은 효율이 아니라 성능계수(COP)로 잰다.

$$\mathrm{COP}_{\rm ref}=\frac{Q_C}{W}=\frac{T_C}{T_H-T_C}, \qquad \mathrm{COP}_{\rm hp}=\frac{Q_H}{W}=\frac{T_H}{T_H-T_C}=\mathrm{COP}_{\rm ref}+1$$

여기서 두 가지가 나온다. 첫째, COP 는 1 보다 훨씬 클 수 있다. $T_H=293\ \mathrm K$, $T_C=273\ \mathrm K$ 이면 $\mathrm{COP}_{\rm hp}=14.7$ 이다. 열펌프가 전기히터보다 압도적으로 유리한 이유이며, 이 비교를 제대로 하려면 엑서지 개념이 필요하다. 둘째, 온도차가 커지면 COP 가 급격히 무너진다. 겨울철 외기가 $-15\ ^\circ\mathrm C$ 로 떨어지면 같은 실내온도에서 카르노 COP 가 8 대로 내려가고, 실물은 성에·제상·압축기 손실까지 얹혀 그 절반 이하가 된다. 한랭지 열펌프 논쟁의 물리적 뿌리가 이 분모 하나다.¹

6. 왜 아무도 카르노 기관을 만들지 않는가[편집]

카르노 효율은 어디에나 인용되는데 카르노 기관 실물은 존재하지 않는다. 이유가 하나가 아니라 넷이다.

1. 등온 열전달은 무한히 느리다. 열유속은 온도차에 비례하므로 $\Delta T\to0$ 이면 $\dot Q\to0$ 이고, 유한한 열을 주고받는 데 무한한 시간이 걸린다. 카르노 효율은 출력이 0 일 때 달성된다. 효율 100 % 짜리 발전소가 1 W 도 못 낸다면 아무도 사지 않는다.

2. 일비(work ratio)가 처참하다. P-V 선도가 길쭉하게 눌려 있다는 말은 팽창일과 압축일이 각각 거대한데 그 차이만 순일로 남는다는 뜻이다. 가스 사이클 카르노의 평균유효압력은 같은 온도 범위의 오토 사이클보다 훨씬 낮고, 그래서 같은 출력을 내려면 실린더가 터무니없이 커진다. 그리고 마찰은 순일이 아니라 총일에 비례해 붙으므로, 일비가 낮은 기관은 마찰에 먼저 잡아먹힌다.

3. 등온 팽창·압축을 기계로 구현할 수단이 없다. 실린더 안 기체를 팽창시키면서 온도를 일정하게 유지하려면 팽창 속도에 맞춰 열을 계속 넣어야 하는데, 왕복 기계의 시간 규모(수 ms)에서 이건 가능한 일이 아니다. 실제 압축·팽창은 단열에 훨씬 가깝다.

4. 2상 영역에서 하면 등온은 공짜지만 다른 게 망가진다. 습증기 영역에서는 정압=등온이므로 1·3 은 저절로 해결되는데, 대신 터빈이 습분이 많은 증기를 팽창시켜야 하고(블레이드 침식) 압축기가 기액 2상 혼합물을 압축해야 한다(습압축). 그리고 임계온도라는 천장 때문에 $T_H$ 를 올릴 수도 없다.² 랭킨 사이클이 응축을 끝까지 시켜 펌프로 액체만 다루는 쪽을 택한 이유다.

예외에 가까운 것이 하나 있다. **스털링 엔진**은 등온 2 + 정적 2 로 구성되는데, 정적 과정의 열을 재생기가 100 % 회수한다고 가정하면 외부와 주고받는 열은 등온 과정뿐이므로 이상적으로 카르노 효율에 도달한다. 에릭슨 사이클(등온 2 + 정압 2)도 마찬가지다. 다만 완전 재생기는 존재하지 않고 등온 문제도 그대로 남아서, 실물 스털링은 여전히 카르노 근처에도 못 간다.

7. 유한시간 열역학과 커즌-알본 효율[편집]

“효율은 최대인데 출력이 0”이라는 결함을 정면으로 다루는 분야가 유한시간 열역학(finite-time thermodynamics)이다. 질문을 바꾼다 — 최대 출력을 낼 때의 효율은 얼마인가?

가장 유명한 모형이 커즌과 알본(1975)의 내부가역(endoreversible) 기관이다. 설정은 이렇다. 작동유체 내부는 완전 가역인 카르노 사이클이지만, 열원과 작동유체 사이에 유한한 온도차가 있고 그 경계에서만 뉴턴 냉각법칙 $\dot Q=\kappa\,\Delta T$ 으로 열이 흐른다. 작동유체 온도 $T_{Hw}<T_H$, $T_{Cw}>T_C$ 를 자유 변수로 놓고 출력 $\dot W$ 를 최대화하면

$$\eta_{\rm CA}=1-\sqrt{\frac{T_C}{T_H}}$$

가 나오고, 놀랍게도 열전달계수 $\kappa$ 들이 전부 약분된다. 커즌-알본이 붙인 표는 유명하다.

발전소	$T_H$ / $T_C$ (K)	$\eta_{\rm Carnot}$	$\eta_{\rm CA}$	실측
웨스트 서록 화력 (영국)	838 / 298	0.64	0.40	0.36
CANDU 원자력 (캐나다)	573 / 298	0.48	0.28	0.30
라르데렐로 지열 (이탈리아)	523 / 353	0.32	0.175	0.16

카르노 효율은 실측의 두 배 가까이 되는데 커즌-알본은 몇 %p 안으로 맞는다. 그래서 이 식은 종종 “실제 기관의 법칙”처럼 인용되는데, 그 지위는 정확히 다음과 같다.

• 보편 법칙이 아니라 특정 최적화 모형의 답이다. 가정이 셋이다 — 비가역성이 오직 경계 열전달에만 있다, 열전달이 온도차에 선형이다, 그리고 기관이 최대 출력점에서 운전된다. 셋 중 하나만 바꿔도 결과가 바뀐다. 복사 열전달($\propto T^4$)로 바꾸면 지수가 달라지고, 내부 마찰을 넣으면 또 달라진다.
• 상한이 아니다. $\eta_{\rm CA}<\eta_{\rm Carnot}$ 은 항상 참이지만, 실제 기관이 $\eta_{\rm CA}$ 를 넘는 것은 열역학이 전혀 금지하지 않는다. 위 표에서 CANDU 가 이미 넘고 있다. 출력을 조금 포기하고 효율을 사면 되는 일이고, 실제 플랜트는 최대 출력점이 아니라 경제성 최적점에서 설계된다. 유일한 진짜 상한은 여전히 $1-T_C/T_H$ 다.
• 표의 일치는 사후적 선택의 도움을 받았다. $T_H$, $T_C$ 를 무엇으로 잡을지(화염 온도인가, 증기 온도인가, 노심 온도인가)에 따라 값이 크게 흔들리고, 원 논문의 온도 선택이 관대하다는 비판이 오래전부터 있었다. 표본 세 개짜리 일치를 법칙으로 승격시키면 안 된다.
• 모형 독립적인 결과는 따로 있다. 저소산(low-dissipation) 모형을 쓰면 최대 출력점의 효율이 $\eta_C/2$ 와 $\eta_C/(2-\eta_C)$ 사이에 갇히고, 소산이 고온·저온 쪽에 대칭일 때 정확히 커즌-알본이 나온다는 것이 알려져 있다. 즉 $\eta_{\rm CA}$ 는 한 점이 아니라 구간의 가운데다. 그리고 $\eta_C$ 가 작을 때 $\eta_{\rm CA}\approx\eta_C/2$ 라는 것이 이 모든 결과의 공통 골자다.

요약하면 커즌-알본 효율은 “효율과 출력은 맞바꾸는 것”이라는 사실을 숫자 하나로 압축한 훌륭한 교육용 결과이지, 자연법칙이 아니다. 이 구별을 흐리는 순간 설계 회의에서 “우리는 CA 를 넘었으니 물리를 위반했다”는 기괴한 논쟁이 벌어진다.³

8. 시뮬레이션에서 카르노가 하는 일[편집]

카르노 사이클은 코드로 “푸는” 대상이 아니다. 검산 기준이다.

• 상한 검사. 사이클 시뮬레이션이든 CFD 든, 계산된 열효율이 $1-T_C/T_H$ 를 넘으면 논쟁의 여지 없이 버그다. 열원 온도를 잘못 넣었거나, 열유속 부호가 뒤집혔거나, 일 적분의 경계가 틀렸다. 검증 및 확인 체크리스트에 이 한 줄을 넣는 비용은 0 이고 잡히는 버그는 꽤 있다.
• 손실 분해의 기준선. 실제 사이클 효율과 카르노 효율의 차이를 항목별로 나누는 것이 시스템 해석의 본체이고, 그 회계를 엔트로피 생성 $\dot S_{\rm gen}$ 단위로 하면 그대로 엑서지 분석이 된다. 구이-스토돌라 정리 $W_{\rm lost}=T_0\dot S_{\rm gen}$ 이 그 환율이다.
• 열의 가치 환산. 온도 $T$ 에서 오간 열 $Q$ 가 갖는 일 가치는 $\left(1-T_0/T\right)Q$ 이며, 이 계수를 카르노 인자라 부른다. 열교환기·태양열 집열기·폐열회수 설계에서 “몇 kW 를 회수했는가”가 아니라 “몇 kW 의 일 가치를 회수했는가”를 세게 해 주는 것이 이 인자다.
• 열펌프·냉동 시스템의 무차원화. 실측 COP 를 같은 온도의 카르노 COP 로 나눈 값(2법칙 효율, carnot efficiency ratio)이 기기 성능의 표준 지표다. 온도 조건이 다른 두 기기를 비교할 수 있는 유일하게 정직한 방법이다.

9. 여담[편집]

• 카르노는 열을 보존되는 유체(칼로릭)로 믿으면서 이 결론에 도달했다. 물레방아에서 물이 낙차를 따라 떨어지며 일을 하듯 열도 온도 낙차를 따라 떨어지며 일을 한다는 그림이었고, 전제가 틀렸는데 결론이 맞은 물리학사의 대표 사례로 인용된다. 논증이 열의 정체가 아니라 불가능성 논법에 기대고 있었기 때문이다.
• 카르노는 1832년 36세에 콜레라로 죽었고, 유품 대부분이 방역 지침에 따라 소각됐다. 살아남은 미발표 노트에는 열의 일당량을 오늘날 값의 수 % 안으로 추정한 계산이 남아 있다. 칼로릭설을 스스로 버리고 있었다는 뜻인데, 그 노트가 공개된 것은 1878년이라 열역학 제1법칙의 공로는 이미 다른 사람들에게 돌아간 뒤였다.
• 학부 열역학에서 카르노 사이클이 반드시 이상기체 P-V 선도로 소개되는 것은 교육적으로 아쉬운 관행이다. 이 사이클의 요점은 이상기체와 아무 상관이 없고, T-S 평면에서 직사각형이라는 사실 하나에 전부 들어 있다. 실제로 고무줄, 상자성체, 심지어 광자 기체로 카르노 사이클을 돌려도 효율이 같다는 것을 확인하는 문제가 대학원 과제로 종종 나온다.
• “카르노 효율이 100 % 가 되려면 $T_C=0$ 이어야 한다”는 관찰이 열역학 제2법칙과 제3법칙을 잇는 다리다. 절대영도의 열침이 있으면 열을 전부 일로 바꿀 수 있는데, 제3법칙이 유한한 절차로 절대영도에 도달할 수 없다고 말한다. 두 법칙이 서로를 지키고 있는 셈이다.

10. 관련 문서[편집]

• 열역학 제2법칙 · 엔트로피 · 엑서지 · 열역학 제1법칙
• 오토 사이클 · 디젤 엔진 · 밀러 사이클 · 앳킨슨 사이클 · 브레이턴 사이클
• 랭킨 사이클 · 스털링 엔진 · 열펌프
• 맥스웰의 도깨비 · 시간의 화살 · H 정리
• 깁스 자유에너지 · 헬름홀츠 자유에너지 · 화학평형
• 열전달 해석 · 압축성 유동 · 검증 및 확인

11. Footnotes[편집]

1. 카르노 효율은 대중 기사에서 가장 자주 오용되는 물리 공식 중 하나다. 흔한 오용 두 가지 — 하나는 연료전지처럼 열기관이 아닌 장치에 카르노 상한을 들이대는 것(전기화학 장치의 상한은 깁스 자유에너지 비율이지 카르노가 아니다), 다른 하나는 열펌프 COP 가 1 을 넘는다고 “효율 400 %“라며 제1법칙 위반처럼 보도하는 것이다. 열을 만드는 게 아니라 옮기는 것이라는 한 줄이면 끝나는 이야기인데 매년 반복된다. ↩

2. 카르노 정리를 처음 배울 때 거의 모두가 하는 반문이 “그럼 $T_H$ 를 무한히 올리면 되잖아”다. 답은 두 갈래다. 재료가 녹고, 그 전에 $T_H$ 를 만들려면 연소든 핵분열이든 무언가를 태워야 하는데 그 과정 자체가 이미 막대한 엑서지를 파괴한다. 화염 온도 2200 K 로 800 K 짜리 증기를 만드는 순간, 회수 불가능한 손실이 카르노 상한과 무관하게 이미 발생해 있다. 연소기가 발전 플랜트 엑서지 파괴의 최대 항목인 이유다. ↩

3. 커즌-알본 논문은 American Journal of Physics 에 실린 교육용 논문이었는데, 인용 수가 웬만한 원저 논문을 압도한다. 그리고 사실상 같은 결과를 노비코프(1957)와 샹바달(1957)이 원자력 발전 맥락에서 이미 냈다는 점이 나중에 확인됐다. 열역학에서 “누가 먼저인가” 논쟁이 반복되는 것은 거의 전통에 가깝다. ↩